一篇文章讲懂为什么信号处理要用傅里叶变换？
一篇文章讲懂为什么信号处理要用傅里叶变换？
傅里叶变换是信号处理中的核心工具，它能够将复杂的信号分解为简单的正弦波成分，从而实现信号的分析和处理。本文将从信号的分类、信号处理的必要性，以及傅里叶变换的具体原理和应用等方面，深入浅出地讲解为什么在信号处理中要用到傅里叶变换。
信号的分类
信号是信息的物理表现形式，可以按照不同的角度进行分类：
- 从物理分类角度：根据载体的不同，信号可以分为电的、声音的、光的、磁的、热的、机械的、生物医学的等各类信号。
- 从实际工程应用角度：
- 根据产生源的不同，信号可分为单通道信号和多通道信号。
- 根据信号表现特征，可分为确定信号和随机信号。
- 按自变量数划分，可以有一维信号（如音频）、二维信号（如黑白图像）和多维信号（如彩色视频）。
为什么要进行信号处理？
以声音信号为例，生活中我们无时无刻不充斥着各种声音。当我们想要从复杂多维信号中提取目标信号时，就需要进行信号处理。例如，从公园里的各种声音中提取鸟鸣声，这就需要将时域信号转换到频域进行分析。
傅里叶变换的原理
傅里叶变换是一种数学工具，能够将一个函数（或时域信号）分解成一些基本频率的合成。其核心思想是将一个连续信号分解成一些正弦波（即基本频率）的加权和。
傅里叶级数
傅里叶级数是傅里叶变换的基础，任何满足迪利克雷收敛条件的周期函数都可以用傅里叶级数展开。傅里叶级数展开形式就是用一堆周期成倍数关系的三角函数去近似逼近原函数。
三角级数的正交性
三角级数的正交性是指一组正交的三角函数作为基，如果两个三角函数相乘并在一个周期内的积分为0，则它们是正交的。例如，cos(x)*sin(x)在(0,2pi)上的积分为0。
非周期函数的傅里叶级数
对于非周期函数，可以通过奇延拓或偶延拓的方式，将其补成周期函数，进而套用周期函数的傅里叶级数展开。
傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数的复数形式是通过欧拉公式将三角函数形式转换而来，这种形式在傅里叶变换中更为常用。
傅里叶变换
傅里叶变换能够将时域信号转换到频域，使我们更容易看出信号中的频率成分。其具体步骤包括：
- 傅里叶变换（时域图→频域图）
- 频域图排序
- 去除指定频率的信号
- 频域图顺序还原
- 逆傅里叶变换（频域图→时域图）
- 时域图取模还原
声音信号处理过程
以语音信号为例，一般我们接触到的信号是一幅基于时间序列的音频声波图，也称为时域图。声音的两个基本物理属性是频率与振幅。声音的振幅就是音量，频率的高低就是指音调。
直接时域上的音频图进行处理比较麻烦，所以一般会先将时域图按照不同的频率振幅分解成若干个音频和振幅不同的音频信号图。再将这些不同的信号图按照不同的振幅映射到一个平面图上，就是我们所说的频域图。
傅立叶变换对于信号的处理主要作用是将信号从时域图像转换到频域图像，其完整步骤如下：傅立叶变换（时域图→频域图）→频域图排序→去除指定频率的信号→频域图顺序还原→逆傅立叶变换（频域图→时域图）→时域图取模还原。
通过傅立叶变换，可以去除信号中的噪声，使信号变得更加清晰。例如，在户外街道上录制的语音信号中，可以通过傅立叶变换去除背景噪声，使语音变得更加清晰。