调和平均数：定义、应用场景及与其他平均数的关系

调和平均数：定义、应用场景及与其他平均数的关系

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_43949166/article/details/140952503

调和平均数

1.调和速度公式

在学习目标检测的指标时，遇到了一个重要的指标——F1 Score，它是Precision和Recall的调和平均值。这个概念让我想起了考研或高考时接触过的调和平均数，但具体细节已经模糊。于是，我向GPT询问：“什么是调和平均数？”

GPT解释道：“调和平均数（Harmonic Mean）是一种特殊的平均数形式，它更强调较小数值的影响，因此在某些情况下比算术平均数更适合反映数据的综合情况。调和平均数特别适用于那些多个因素之间需要平衡，但不希望其中某一个因素过度影响整体结果的场景。”

其中，调和平均数是这些数值的倒数的平均数的倒数。

调和平均值的一个典型应用场景是速度计算。如果你开车从一个地点到另一个地点，并在前半程以速度v1行驶，在后半程以速度v2行驶，那么总的平均速度更适合用调和平均来计算，而不是算术平均。因为调和平均更能反映行驶过程中每个路段速度的实际贡献。

让我通过一个具体的例子来说明：

场景描述

• 第一段路程：你以60公里/小时的速度行驶30公里。
• 第二段路程：你以90公里/小时的速度行驶30公里。

计算总时间
首先，我们计算每一段路程所花费的时间：

1. 第一段路程时间：t1 = 路程 / 速度 = 30 公里 / 60 公里/小时 = 0.5 小时
2. 第二段路程时间：t2 = 30 公里 / 90 公里/小时 = 1/3 小时 ≈ 0.333 小时

计算总路程和总时间

• 总路程：30 公里 + 30 公里 = 60 公里
• 总时间：0.5 小时 + 0.333 小时 = 0.833 小时

计算算术平均速度
如果我们简单地使用算术平均速度（而不考虑实际时间），我们会得到：
算术平均速度 = (60 公里/小时 + 90 公里/小时) / 2 = 150 公里/小时 / 2 = 75 公里/小时

但这个算术平均值并不能正确反映你在这两个不同速度段上的实际行驶情况，因为它忽略了在不同速度段花费的时间差异。

计算调和平均速度
调和平均速度能够更准确地反映你的整体行驶速度。调和平均速度的计算公式为：
调和平均速度 = 2 × v1 × v2 / (v1 + v2)

其中v1 = 60 公里/小时 和 v2 = 90 公里/小时。

代入计算：
调和平均速度 = 2 × 60 × 90 / (60 + 90) = 10800 / 150 = 72 公里/小时

这个 72 公里/小时的调和平均速度更准确地反映了你在两个速度段之间的整体行驶速度，因为它考虑了每一段路程所花费的时间。

这个调和平均速度的公式让我想起了初中的平均速度公式，原来这就是调和平均数的应用。

场景设置
假设你有一个物体先后经过两段相等的路程（每段路程都为d），在第一段路程上的速度为v1，在第二段路程上的速度为v2。我们要计算物体在这两段路程上的平均速度。

1. 计算每段路程的时间

• 第一段路程时间：t1 = d / v1
• 第二段路程时间：t2 = d / v2

2. 计算总时间
物体经过这两段路程的总时间为：
t总 = t1 + t2 = d / v1 + d / v2

3. 计算总路程
总路程为两段路程的和：
d总 = d + d = 2d

4. 定义平均速度
平均速度v平均定义为总路程除以总时间：
v平均 = d总 / t总 = 2d / (d / v1 + d / v2) = 2 / (1 / v1 + 1 / v2) = 2 × v1 × v2 / (v1 + v2)

这正是倒数的平均数的倒数。

这个公式表明，当一个物体以两种不同的速度v1和v2分别行驶相等的路程时，其整体的平均速度并不是v1和v2的算术平均，而是调和平均。这个推导过程展示了为何在这种情形下使用调和平均能够更准确地反映物体的整体运动特性。

总结
调和平均数（Harmonic Mean）是一种特殊的平均数形式——倒数平均数的倒数，它更强调较小数值的影响，因此在某些情况下比算术平均数更适合反映数据的综合情况。

2.平均数不等式

调和平均数的概念让我想起了学习不等式时的内容。几个平均数的不等关系是：
调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算数平均数 ≤ 均方不等式

具体来说：

1. 调和平均数（Harmonic Mean, H）
   H = n / (1/x1 + 1/x2 + ⋯ + 1/xn)

2. 几何平均数（Geometric Mean, G）
   G = (x1 × x2 × ⋯ × xn)^(1/n)

3. 算数平均数（Arithmetic Mean, A）
   A = (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n

4. 均方平均数（Quadratic Mean, Q 或 RMS）
   Q = sqrt((x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2) / n)

其中x1, x2, ⋯, xn为正整数。

总结

• 均方平均数强调较大值的影响更多，因此通常是四者中最大的。
• 算术平均数是对数值的均等贡献的平均。
• 几何平均数是对乘积的均等贡献的平均，适用于处理比率和比例。
• 调和平均数强调较小值的影响更多，通常是四者中最小的。