正棱台的侧面积和全面积计算公式详解
正棱台的侧面积和全面积计算公式详解
本文出自《数理化自学丛书6677版》，这是一套由“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材。这套丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。
第二章多面体——棱柱、棱锥和棱台的面积
§2-9正棱台的侧面积和全面积
定理
正棱台的侧面积等于两个底面周长的和与斜高乘积的一半。
已知：正棱台 A₁D 的上、下底面的周长分别为 p₁ 和 p，斜高为 l，并设侧面积为 S 。
求证：
证明：
已知正棱台的侧面都是全等的等腰梯形，所以正 n 棱台的侧面积就等于一个梯形侧面面积的 n 倍。设上底面正多边形的边长为 a₁，下底面正多边形的边长为 a，斜高 l，则
但是 na₁＝p₁，na＝p，
∴
注意：正棱台的侧面积公式不适用于一般棱台，因为一般棱台的各侧面的斜高不一定全相等，因此就不能利用上面所证明的公式来求它的侧面积，要求一般棱台的侧面积，则可把所有的侧面梯形的面积分别求出，然后加起来。
- 正棱台的全面积等于侧面积与两个底面积的和：
。（A₁，A 分别表示两底的面积）
- 如果已知正棱台的中截面（平行于底面且过高的中点的截面）的周长(m)，则正棱台侧面积公式可写成（因为
）：
。
至此，我们已经学习了棱柱、棱锥和棱台的侧面积和全面积的计算公式。如果以运动的观点来观察这三个多面体的侧面积公式时，就有下面的一些看法。
如果使棱台的上底（扩大或缩小）和下底相等时，则棱台就变成了棱柱，只要令 P₁＝P，棱台的侧面积公式也适用于求棱柱的侧面积：
∵ 棱台侧面积
，
- 但当 p₁＝p 时，
。
如果把棱台的上底缩小成一点时，则棱台就变成了棱锥，只要令 p₁＝0，棱台的侧面积公式也适用于求棱锥的侧面积。
∵ 棱台侧面积
，
- 但当 p₁＝0 时，
。
- 所以对于棱柱、棱锥的侧面积公式，如果以运动的观点来分析，都可以看成是棱台的侧面积公式的特例。
例题
例1. 一个正三棱台的上下底面每边的长分别是 6cm 和 18cm，侧面和下底面所成的二面角是 60°，求它的全面积。
解：
在正三棱台ABC—A₁B₁C₁中，O₁O 是高，M₁M 是斜高。连结 OM、O₁M₁，得直角梯形 OMM₁O₁，则 ∠OMM₁ 是侧面和下底面所成的二面角的平面角，
∴ ∠OMM₁＝60° 。
在直角梯形 OMM₁O₁ 所在平面里，过点 M₁ 作 M₁H⊥OM 。
在直角 △M₁HM 中，
答：这个棱台的全面积是 282√3 cm² 。
例2. 一个正四棱台的高是 8cm，斜高是 10cm，侧面积是 360cm²，求它的两个底面每边的长。
解：
在正四棱台ABCD—A₁B₁C₁D₁中（图2·53），高 O₁O＝8cm，斜高 M₁M＝10cm 。连结 OM、O₁M₁，得直角梯形 OMM₁O₁ 。
设上下底面的每边的长分别为 x 和 y，过点 M₁ 作 M₁H⊥OM，
则
。
但 MH＝OM－O₁M₁＝(1/2)y－(1/2)x，
∴ (1/2)y－(1/2)x＝6； (1)
又因棱台的侧面积为 360cm²，
∴ (1/2)(4x＋4y)·10＝360 。(2)
解(1)和(2)，得
答：这个棱台上下底面每边的长分别为 3cm 和 15cm 。
例3. 正四棱台两底面的边长分别是 a 和 b，它的侧面积等于两个底面面积的和，求证它的高是
。
已知：正四棱台ABCD—A₁B₁C₁D₁的上下底面的边长分别是 a 和 b，S侧＝S上底＋S下底 。
求证：高 。
证明：
设斜高为 l，则：S侧＝(1/2)(4x＋4b)l＝2(a＋b)l，S上底＝a²，S下底＝b² 。
由题设 S侧＝S上底＋S下底，
∴ 2(a＋b)l＝a²＋b²，
∴
。
在直角梯形 OMM₁O₁ 中，O₁O＝h，M₁M＝l，O₁M₁＝(1/2)a，OM＝(1/2)b 。
过点 M₁ 作 M₁H⊥OM，则：
习题2-9
在一个正四棱台中，两个底面的边长分别等于 8cm、2cm，高为 4cm，求全面积。
一个正三棱台的两个底面的边长分别等于 8cm 和 18cm，侧棱长等于 13cm，求它的侧面积。
一个正六棱台的两个底面的边长分别是 2cm 和 8cm，侧棱和底面成 60° 的角，求它的全面积。
一个正四棱台的斜高是 12cm，侧棱的长是 13cm，侧面积是 720cm²，求它的两个底面每边的长。
一个正六棱台的斜高是 3√3 dm，两个底面边长的差是 10dm，它的全面积是 480√3 dm²，求两个底面的边长。
棱台的两个底面对应边的比是 3:11，求它的侧面被中截面分得的面积的比。
棱台的两个底面是矩形，而两个底面对角线交点的连线垂直于底面，已知下底面矩形的两边分别等于 30cm、54cm，上底面矩形的周长等于 112cm，棱台的高等于 12cm，求这棱台的侧面积。
[提示：棱台两个底面为相似多边形，因此可以先求出上底面矩形两边的长。两个底面对角线交点的连线垂直于底面，可见两个底面对角线交点的连线的长就是这棱台的高。这样，再通过勾股定理分别求出各个侧面的斜高 ]
8*. 正四棱台上下两个底面的边长分别等于 b、a（a＞b），侧棱和底面的交角为 a，求这棱台的侧面积。
[提示：
自顶点 A₁ 作 A₁O 垂直下底面，并在下底面内作 OE⊥AB，OF⊥AD 。易求得
最后，可求得正楼台的斜高：在直角三角形 A₁OE 中，
]
9*. 正三棱台侧面和下底面所成的二面角为 60°，棱台下底面的边长为 a，全面积为 S，求上底面的边长。
[提示：如图所示，OO₁ 为两底面中心连线，那么 DD₁为斜高，∠D₁DB＝60°；设上底面边长为 x，则可求得 O₁D₁（以x表示）、OD，从而求得 DH，DD₁；既得斜高之表达式，即可表出全面积；由已知全面积为 S 即可解出 x ]
10*. 在正四棱台内有一个内接棱锥，它以棱台的上底面为底面，棱台的下底面中心为顶点。已知棱台上下两个底面的边长分别为 b、a（a＞b），并且这棱台的侧面积与这一内接棱锥的侧面积相等，求这棱台的高。
[略解：
设此棱台的高是 h，那么内接棱锥的高也是 h，并知这个内接四棱锥是一个正四棱锥。
在直角三角形 OO₁F₁ 中，棱锥的斜高
。
在梯形 O₁OEF₁ 中，棱台的斜高
。
题设棱台的侧面积等于这个内接棱锥的侧面积，所以棱台的一个侧面的面积等于棱锥的一个侧面的面积。
而 a＞b，要使 h 有意义必须 2b²－a²＞0，即 √2 b＞a 。
所以，当 b＜a＜√2 b 时，本题才有解 ]