高中物理题型方法总结之简谐运动的证明及拓展

高中物理题型方法总结之简谐运动的证明及拓展

简谐运动是高中物理中的一个重要知识点，涉及振动、周期性运动等多个方面。本文将系统总结简谐运动的定义、特征、常见模型及其拓展应用，帮助读者全面理解这一物理概念。

一、简谐运动的基本概念

1. 简谐运动定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。

2. 简谐运动的特征：

• 运动特征：运动特征为位移与时间的关系的表达式为 x = A sin(ωt + φ0)，式中 A 是振幅，ω 为圆频率，φ0 为初相位。
• 受力特征：受力特征为 F = -kx，其中 F 为指向平衡位置的回复力，也叫谐振特征力；x 为振动质点偏离平衡位移。

3. 简谐运动的对称性：F回、a回、v、x、t 关于 F回=0 的两侧点或线段存在对称性。

二、常见简谐运动模型

1. 弹簧振子模型：

• 简谐运动证明：以斜面模型为例（设斜面光滑），取沿斜面向下为正方向。在平衡位置，设弹簧伸长量为 x0，则有 Gsinθ = F = kx0。将小球拉离平衡位置 x 后释放，有 F回 = Gsinθ - k(x + x0)。代入平衡位置条件可得 F回 = -kx。
• 拓展：如果 θ = 0 度，就是水平方向弹簧振子模型；θ = 90 度，则是竖直方向弹簧振子模型。结论：弹簧振子模型（光滑面）无论水平方向、斜面方向、还是竖直方向，在弹性限度内均做简谐运动。

2. 单摆模型：
   

• 简谐运动证明：设摆长为 L，取位移方向为正方向。在平衡位置（最低点）有 G = F。当拉离一定偏角 θ < 5 度，位移为 x 时，说明 g 是等效重力加速度，L 是等效摆长。

三、简谐运动的周期性

简谐运动具有周期性，无论从什么角度分析都易得简谐运动是周期性运动，简谐运动周期 T。

证明方法：

1. 方法1：设简谐运动的位移与时间关系式为 x = A sin(ωt + φ0)。求导可得速度与时间关系式 v = Aω cos(ωt + φ0)，再求导可得加速度与时间关系式 a = -Aω² sin(ωt + φ0)。根据牛顿第二定律 -kx = ma，并将 x、a 的表达式代入，可得 ω² = k/m。需要说明，k 只是一个比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。在上述弹簧振子模型中，比例系数刚好是弹簧的劲度系数！对于单摆，k = mg/L。

2. 方法2：利用匀速圆周运动在某一方向的投影是简谐运动。原理：圆周运动周期等于简谐运动周期！

四、另类“简谐运动”——单方向简谐运动

1. 简谐运动是一种理想化的振动，振动中的机械能守恒，振幅保持不变。可实际上，振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用，振动系统克服阻尼作用做功，系统的机械能就要损耗，振动的振幅也逐渐减少，待到机械能耗尽之时，振动就停下来了，这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。

2. 水平弹簧振子在摩擦力作用下的振动规律：

• 情景：一个水平放置的弹簧振子，如果物块与水平面间的动摩擦因数为 μ，在水平方向上物块仅受摩擦力及弹簧弹力作用，可以证明该系统的振动为简谐运动。
• 分析：设弹簧的劲度系数为 k，若将物块向右拉离平衡位置，并有较大的位移 x（在弹簧弹性限度内），那么当释放此物块，让其从右向左运动时，取向右为正方向，则运动中物块受到的合力 F回 为：F回 = -kx - μmg。同理，当此物块从左向右运动时，物块所受的合力为：F回 = -kx + μmg。两者不同的是，在 F回 作用下物块运动的平衡点为：x1 = μmg/k。在返回过程作用下物块运动的平衡点变为：x2 = -μmg/k。物块在振动中不断改变平衡点，由 x1 → x2 → x1 → ...，在平衡点的交替变化中，振幅越来越小。
• 结论：物体在摩擦力作用下作阻尼振动，整个运动不是简谐运动，但是在单方向的运动中，摩擦力不变，该过程物体做简谐运动；在下一个单方向运动中，物体仍做简谐运动 ⋯ 如此循环，平衡点位置交替变化，连续的振动中，物体的振幅周期性递减。由于简谐运动的周期公式仅与 m、k 有关，所以在每个简谐运动中物块运动的时间均相同、若某次振动中，速度为零时记为时刻零点，则物块振动的 x - t 图像如图2 所示。为区别于一般的简谐运动，将此类简谐运动称为“单方向简谐运动”。

3. 拓展：同理可证，在斜面（有摩擦）、竖直方向（阻力大小恒定）上述结论同样成立（单方向简谐运动）。