新高考背景下的解析几何试题解法探析

新高考背景下的解析几何试题解法探析

新高考背景下，解析几何试题的考查形式和难度发生了变化。本文以2024年新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷为例，深入分析了解析几何试题的解题方法和教学启示，为学生和教师提供有价值的参考。

写作指导

引言

2024年新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷对于解析几何部分考查在题量上为“两小一大”的形式，分值在26分左右。小题难度不大，重在考查圆锥曲线的基本概念、标准方程和几何性质，突出直观想象和数学建模的核心素养。解答题主要考查直线与圆、圆锥曲线的方程及直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值及面积等问题，常与函数、方程、不等式、向量等知识综合，考查数形结合、化归与转化等思想。值得注意的是2024年新课标Ⅰ和Ⅱ卷，在题量减少的情况下，难度设置和试题位置发生了改变，新课标Ⅱ卷第19题将圆锥曲线与数列相结合，知识模块融合考查，出现在压轴题的位置，反套路导向明显，这也是创新。

试题再现

试题解析

试题评价

本题以等轴双曲线和等比数列为载体，探寻坐标变换，紧扣问题实质，思维量很大，需要综合运用多方面知识方可得解。本题充分体现了“多想少算”命题思想，即用思维(思想)指导运算的优越性，交汇考查知识模块，引导中学教学充分重视思维能力、探究能力和解决问题能力的培养。

拓展探源

1. 拓展推广

2. 本源探索

教学启示

1. 掌握解题思维流程

设(设取主动点)→表(表示相关点)→转(几何条件坐标化，选择曲线方程表示坐标)→消(消元化简)→解(求解问题)
即观察代数结构，决策运用“两根和与积的关系”“构造直线斜率式、中点坐标式”等加以消元，分析消元处理后的代数结构(几个量、几次式)，进一步思考代数结果与所求目标的关系，从而得到问题的解。

2. 强化数学思想方法

(1)函数与方程思想：解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程、不等式等知识模块密不可分，易进行融合考查。其问题解决策略就是通过建立方程(组)，以方程(组)的解的情况来研究曲线间的位置关系，或建立函数关系来研究曲线的几何性质。
(2)分类与整合思想：解析几何中一些公式、性质有适用条件。解题时必须注意分类讨论、分类处理，将具有多种可能性的问题分解为若干个简单的、具有确定性的问题逐一解决。如涉及直线方程时要考虑斜率是否存在，用方程组的解来判断直线与曲线的位置关系时要注意相切、相交的不同情形。
(3)数形结合思想：解析几何的本质就是“以数研形”“以形助数”，从代数的角度刻画几何关系，用代数运算进行几何推理，即曲线的几何性质可以用函数、方程、不等式表达，也可用函数、方程或不等式的数字特征刻画曲线的几何性质。

3. 悟透一轮复习要义

(1)把握本质，发展思维。教师应以发展学生学科素养为导向，创设课程学习情境与思维探索情境，培养学生的思维能力，理解并把握数学知识本质；在问题解决、思维冲突中理解知识、提炼方法，助力学生建立知识体系，实现思维进阶。
(2)吃透教材，夯实基础。复习过程中要引导学生掌握教材中的概念、公式、性质与定理等知识，深刻理解核心问题的本质；时常复盘主干知识与基本思想方法，不留知识盲点，确保基础部分不丢分。围绕学生情况精选例习题，直击要点，将难点问题逐一分解成小的问题，再逐一突破。运算顺序的选取、直(曲)线方程形式的选择、平行与垂直关系的处理、对称性与平面几何性质的应用、特殊位置的探究、定义法与向量工具的运用，都是解析几何的重点考查维度。
(3)精耕细作，点面结合。高考试题聚焦主干知识内容和重要原理方法，着重考查数学学科核心素养，引导中学教学遵循教育规律，引导教学回归课标和教材；重视研究学生获得知识的学习过程和学科思想的感悟、内化的过程及学习结果的形成过程，避免“题型n＋解法n”的模式教学，重视高质量问题引导下的思维教学和选题命题，一切讲练都要围绕学生展开，不断突破解析几何的痛点难点问题。