求极限问题：x趋于0时的等价替换及其适用条件、洛必达法

求极限问题：x趋于0时的等价替换及其适用条件、洛必达法

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_46190471/article/details/134308509

在求极限的过程中，等价无穷小替换和洛必达法则是两种非常重要的方法。本文将详细介绍这两种方法的使用条件和具体应用场景，帮助读者更好地掌握极限问题的求解技巧。

x趋于0时的等价替换及其适用条件

等价无穷小的定义：
若
$$
\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1
$$
则$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的，记作$\alpha \sim \beta$。即当两个函数相比取极限，如果极限值为1，则这两个函数是等价无穷小的。

常用的等价替换（x趋于0时）

• $\sin x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arctan x \sim x$
• $e^x -1\sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $a^x-1\sim x\ln a\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.)$
• $\log_a(1+x)\sim\frac{x}{\ln a}\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.)$
• $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
• $(1+x)^\alpha -1\sim \alpha x$
• $(1+\beta x)^\alpha -1\sim \alpha\beta x$
• $\sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac{1}{n}x$
• $x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^3$
• $\arcsin x-x\sim\frac{1}{6}x^3$
• $\tan x -x\sim \frac{1}{3}x^3$
• $x-\arctan x\sim\frac{1}{3}x^3$
• $x-\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$

等价替换的本质是当x趋于某一点时，两个函数在该点处相切，即两函数在该点处斜率相同且只有该点处一个交点。斜率相同，意味着两函数在该点处具有相同的增长率，在x的值无尽逼近于该点时，两函数值几乎相同，所以在求极限的时候可以用等价替换，来简化问题。从斜率（函数变化率）的角度也更容易理解洛必达法则。

洛必达法则：设

(1) 当$x\rightarrow a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于 0；

(2) 在点$a$的某去心领域内，$f^{\prime}(x)$及$F^{\prime}(x)$都存在且$F^{\prime}(x)\neq 0$；

(3)$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}$存在（或为$\infty$）

则
$$
\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)}
$$

洛必达法则使用于以下类型的极限中：(未定式类型)

• $\dfrac{0}{0}$
• $\dfrac{\infty}{\infty}$
• $0\cdot\infty$
• $0^0$
• $1^{\infty}$
• $\infty^0$
• $\infty-\infty$.

等价替换适用的条件

在求极限问题中，不是所有的情况都是可以直接用等价替换的。

从等价无穷小的定义中
$$
\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1
$$
可以看出，$\alpha$与$\beta$的极限比值为1，所以在乘除关系中，可以使用等价无穷小进行替换。

等价替换适用于乘除关系中，部分加减关系中可以用等价无穷小替换。大致如下：

• 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，则
  $$
  \lim \frac{\alpha}{\beta}=\lim \frac{\alpha_1}{\beta}=\lim \frac{\alpha}{\beta_1}=\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}
  $$

• 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且
  $$
  \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1
  $$
  则$\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1$.

• 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且
  $$
  \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1
  $$
  则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$.

简单地讲就是，若极限的分子分母中有加减关系，且等价替换后加减关系的结果为0，这时候一般不能用等价替换。