四元数的故事：从汉密尔顿的顿悟到现代科技的应用
四元数的故事：从汉密尔顿的顿悟到现代科技的应用
四元数是数学中一个重要的概念，它不仅在纯数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学和计算机科学等领域发挥着重要作用。本文将带你了解四元数的发现历史、数学原理及其应用，让你领略这个美妙数学对象的魅力。
19世纪40年代，爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）试图解决一个棘手的问题：在三维空间中找到表现得像复数一样的数字。他知道复数可以看作二维空间中的点，并且可以使用某些几何或代数运算将它们相加和相乘。然而，他在三维空间中寻找类似复数的数字时遇到了困难。
汉密尔顿在写给儿子阿奇博尔德的一封信中暴露了他对这个问题的沮丧之情。每天早上，当汉密尔顿下楼吃早餐时，他的儿子们总是问他：“爸爸，你会做三元数的乘法吗？”对此，他总是不得不悲伤地摇头回答：“不会，我只会做加减运算。”
但1843年10月16日，汉密尔顿在去爱尔兰皇家学院参加理事会的路上，沿着都柏林的皇家运河散步时，一个解决方案突然出现在他的脑海中。他虽然无法让三维空间中的三元组的乘法运作，但他发现可以对四元组（即四维空间中的点）采取类似的方法。通过利用四元组中的三个数字作为三维坐标中的点，哈密尔顿能够用他的新数字系统来表示空间中的点，但为了使代数运算得以成立，这些数字必须延伸到第四维。这正是他那伟大的洞见！
汉密尔顿认为他的发现非常重要，害怕失去这个想法，他把乘法的基本规则刻在了桥的石头上：
$$
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
$$
第二天，汉密尔顿给他的朋友兼数学家同事约翰·T·格雷夫斯写了一封信，描述了桥上的奇迹。他写道：“这时我突然想到，在某种意义上，为了用三元组进行计算，我们必须承认空间中有第四维……仿佛一条电路闭合了，一道火花闪现出来。”
哈密尔顿将具有这些乘法规则的四元组称为四元数（quaternion），并将他余生的时间投入到研究和教授四元数之中。
数学原理
正如复数既具有代数结构又具有几何意义，四元数也同样如此。事实上，复数域在某种意义上嵌入在四元数空间中，因此我们可以期待某些适用于复数的普遍定理也能适用于四元数。事实证明，这确实是正确的。
我们可以列出以下数集的包含关系：
$$
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}
$$
其中，$\mathbb{N}$表示自然数集，$\mathbb{Z}$表示整数集，$\mathbb{Q}$表示有理数集，$\mathbb{R}$表示实数集，$\mathbb{C}$表示复数集，$\mathbb{H}$表示四元数集。一个自然的问题是：是否存在比四元数更高维的数字空间？这个问题的答案是“是”，但我们需要先学会走路，然后才能试着跑，所以让我们来谈谈四元数。没错，字母H代表汉密尔顿！
正如我们可以将复数视为二维实数空间$\mathbb{R}^2$中的点（或向量）一样，我们可以将四元数视为$\mathbb{R}^4$中的点，因此我们需要4个实数来定义四元数。四元数是形式为$a + bi + cj + dk$的表达式，其中$a, b, c, d$是实数，符号$i, j, k$彼此满足某些代数关系。具体来说，我们有：
$$
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
$$
而且：
$$
ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j
$$
$$
ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j
$$
这些规则与适用于四元数的分配律和结合律一起定义了$\mathbb{H}$的代数。请注意，四元数不具有交换性。也就是说，一般来说，$pq \neq qp$。乍一看，我们需要跟踪数字相乘的方向，这可能看起来很奇怪，但那些像我一样花了大量时间研究线性代数的人知道，许多其他数学结构和空间也具有这种非交换性。
有时我们将四元数写为标量部分$a$与矢量部分$bi + cj + dk$之和。因此我们可以写出$q = a + v$，其中$v = bi + cj + dk$。
在这种形式中，我们把四元数的共轭写为$q^* = a - v$。
四元数与其共轭的乘积的平方根称为其范数，是从原点到四元数在$\mathbb{R}^4$中的距离。也就是说：
$$
|q| = \sqrt{qq^*} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}
$$
这当然只是四维空间的毕达哥拉斯定理。
欧拉通过复数$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$发现了指数函数与三角函数之间的一个惊人的关系。四元数理论的美妙之处之一是四元数的欧拉公式。令人惊讶的是，如果我们把一个四元数的形式写成$e^{qv}$，那么以下美妙的关系成立：
$$
e^{qv} = \cos|v| + \frac{v}{|v|}\sin|v|
$$
请注意，这实际上是欧拉公式的推广，因为如果我们有一个四元数$q = a + v$，其中$a = 0$，那么这两个公式就重合了。
汉密尔顿想出了这些数字，以便处理三维空间中的旋转。因此，尽管它们存在于四维空间中，但事实证明，如果你只跟踪矢量部分（当然存在于$\mathbb{R}^3$中），它们对于处理三维空间中的旋转非常有效。
应用和概述
四元数用于许多纯数学领域，例如抽象代数结构的研究。然而，事实证明，四元数在现实生活中也有许多应用。例如，在3D计算机图形学中，四元数一直被使用，因为它们比相应的矩阵更高效、更快。
四元数还用于数论中拉格朗日四平方定理的证明之一，该定理指出每个非负整数都是四个整数平方和。拉格朗日四平方定理在数论以外的数学领域也有有用的应用，例如组合设计理论。
四元数在数学中占有一席之地，但如今，它们的大部分理论已经被更一般的数学框架所取代。在现代数学语言中，四元数构成了一个四维的结合的赋范除环（associative normed division algebra），它是建立在实数之上的第一个非交换(noncommutative)的除环。
更高维的数空间
我们现在进入了抽象代数（abstract algebra）的领域。正如我在文章开头简要提到的，除了四元数之外，还有更高维的数空间。一般来说，所有扩展复数的代数结构都被称为超复数（hypercomplex number spaces），而下一个这样的数空间便是八元数（octonions），记作$\mathbb{O}$，它们存在于八维空间(8-dimensional space)之中。
然而，八元数既不满足交换律，也不满足结合律，这使得它们比四元数更难处理。通常来说，每当我们尝试提升数的维度并考虑更高维的空间时，我们都会失去某些代数结构。
结语
至此，我们已经接近这个高维数之旅的终点。四元数不仅是数学中的一个优美概念，它在现代科技中也发挥着重要作用。希望这篇文章能激发你对四元数的兴趣，并尝试亲自玩味它们的奥妙。
如果你对这个话题感兴趣，可以阅读《高观点下的初等数学》一书，这本书将为你提供更深入的数学洞察。