微分几何-曲线论（曲线）
微分几何-曲线论（曲线）
微分几何是研究曲线和曲面的几何性质的一门学科，其中曲线论是其基础部分。本文将系统地介绍曲线的基本概念、性质及其相关定理，包括曲线的定义、常见曲线类型、连续曲线与光滑曲线的区别、正则曲线的概念、切向量与法平面的定义、弧长公式及其参数化等内容。
曲线
定义
称三维欧氏空间$\mathbb{R}^3$中的向量函数$\boldsymbol{r}(t) = {x(t), y(t), z(t)}, t \in (a, b)$为一条空间参数曲线，简称曲线，我们也把函数的自变量$t$称为是曲线的参数。
注：由于向量函数的终点位置和$x(t), y(t), z(t)$是一一对应的，因此可以将向量函数表示的空间曲线看作空间质点随$t$变动的轨迹。这时，曲线也是有方向的。我们规定随着参数$t$的增加，曲线上点的运动方向为曲线的正向。
常见曲线
直线
直线的向量函数一般形式为$\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{a}t + \boldsymbol{b}$，表示过定点$\boldsymbol{b}$，方向向量为$\boldsymbol{a}$的直线。例如，$\boldsymbol{r}(t) = {t, t, t}, t \in \mathbb{R}$表示过定点$(0, 0, 0)$，方向为$(1, 1, 1)$的一条直线。
在这里补充解析几何中直线方程的几种形式：
- 一般形式（通过两平面相交只有一条交线，联立方程组即为一般形式）
- 点向式（已知直线过一点和直线的方向向量）
- 参数式（很容易由点向式导出直线的参数方程形式）
圆
曲线$C$：$\boldsymbol{r}(t) = {\cos t, \sin t, 0}, t \in \mathbb{R}$是$xOy$平面上的单位圆，方向为逆时针方向。
圆柱螺线
曲线$C$：$\boldsymbol{r}(t) = {\cos t, \sin t, t}, t \in \mathbb{R}$表示圆柱螺线，其方向从下到上。圆柱螺线既是光滑曲线，也是正则曲线。
维维安尼曲线
该曲线是由一个半径为$a$的球面与一个经过球面的一条直径，且半径为$a/2$的圆柱面相交而成的空间曲线。曲线$C$：$\boldsymbol{r}(t) = \left{1+\cos t, \sin t, 2 \sin \frac{t}{2}\right}, t \in (-2\pi, 2\pi)$是正则曲线。
连续曲线/光滑曲线
如果向量函数是$C^n$类的，即向量函数具有连续的$n$阶导数，则称对应的曲线为$C^n$类曲线。特别地，$C^0$类曲线称为连续曲线，$C^1$类曲线称为光滑曲线，向量函数具有任意阶导数的曲线叫做$C^\infty$类曲线。
正则曲线
设空间曲线$C$：$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$是至少$C^1$类的，如果在$t_0$处有$\boldsymbol{r}'(t_0) \neq \boldsymbol{0}$，则称曲线在$t_0$处正则，点$\boldsymbol{r}(t_0)$称为曲线的正则点（或正常点）；否则称曲线在$t_0$处非正则，点$\boldsymbol{r}(t_0)$称为曲线$C$的奇异点。如果曲线上的每一点都是曲线的正则点，则称该曲线是正则曲线。
注：在后续章节中，如果不作特殊说明，我们约定研究的曲线均为至少$C^3$类正则空间曲线。曲线$C$：$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$在$t_0$处正则当且仅当$|\boldsymbol{r}'(t_0)| \neq 0$。需要曲线的正则性与其是否连续光滑没有直接关系。如半立方抛物线$\boldsymbol{r}(t) = \left{t^3, t^2, 0\right}$是$C^\infty$类曲线，但不是正则曲线。
注：对于曲线光滑性的要求，就是要排除曲线上比较“尖锐”的点；而正则性的要求，就是排除能够通过光滑性的要求，但是切向量变化不连续的特殊点（比如带尖点的曲线），即便这 个点两侧曲线都是平滑过渡的。
切向量
要给出切向量的概念，我们首先考虑切线是如何形成的。给出曲线上一点$P$，点$Q$是$P$的邻近一点，如图。把割线$PQ$绕$P$点旋转，使$Q$点沿曲线趋近于$P$点。若割线$PQ$趋于一固定的位置，则我们把这个割线$PQ$的极限位置称为曲线在$P$点的切线。而定点$P$称为切点。
直观上看，切线是通过切点的所有直线中最贴近曲线的直线。下面我们通过切线的定义引入切向量的概念，首先设曲线的向量函数为$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$，切点$P$对应参数$t_0$，$Q$点对应参数$t_0 + \Delta t$，如图。
注：当曲线是正则曲线时，曲线上的每一点都是正常点（$\boldsymbol{r}'(t_0) \neq \boldsymbol{0}$），因此曲线在每一点的存在非零切向量。而这个切向量就是切线上的一个非零向量，因而就是切线的一个方向向量。由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数$t$的增量方向是一致的。
切线方程
由切点和切向量很容易得到切线方程。注意直线方程的分母只要不全为0就是有意义的。
法平面（法面）
经过切点而垂直于切线的平面称为曲线的法平面或法面。一个平面可由一个定点以及平面的一个法向量唯一确定，由于定点和法向量，也就是切向量都是已知的，所以也很容易写出法平面的点法式方程。
弧长
对曲线的正则性要求，保证了曲线在每一点都存在切向量，由数学分析的知识可知，这还保证了曲线是可求长的。以下依然利用微积分的知识，通过将曲线微分成无限多的小段推导弧长公式。
定理1：弧长公式
曲线$C$：$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t), t \in (t_0, t_1)$的弧长为：
$$s = \int_{t_0}^{t_1} |\boldsymbol{r}'(t)| dt$$
注：在弧长公式中，令$t_1 = t$，则可以得到
$$s = \int_{t_0}^{t} |\boldsymbol{r}'(t)| dt$$
这样我们可以将弧长理解为一个关于变量$t$的实函数。
弧长参数化
考虑圆从$0$到$t$的弧长。考虑圆柱螺线从$0$到$t$的弧长。这两个例子表明利用弧长公式，我们可以将一般参数表示的向量函数“转化”为弧长参数表示的向量函数。我们将这件事情称为弧长参数化。事实上，从理论上看，任何一条正则曲线都可以弧长参数化。
定理2：任何一条正则曲线都可以使用弧长作参数。（也称弧长参数为自然参数）
证明：利用变上限函数导数公式以及单调函数存在反函数。
注：利用弧长公式，我们可以得到以下两个非常常用的式子
$$\frac{ds}{dt} = |\boldsymbol{r}'(t)| \text{ 或 } \frac{dt}{ds} = \frac{1}{|\boldsymbol{r}'(t)|}$$
后面我们会逐渐发现弧长参数化对于研究曲线的便捷之处。
定理3（弧长表示的向量函数一阶导数以及二阶导数的性质）
若曲线$C$：$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$的参数为弧长
则$|\boldsymbol{r}'(s)| \equiv 1$，且$\boldsymbol{r}'(s)$与$\boldsymbol{r}''(s)$处处垂直。
此时称$\boldsymbol{r}'(s)$为曲线$C$的单位切向量，也记为$\boldsymbol{\alpha}(s)$
证明：利用了上一节的定理，向量函数有固定长当且仅当其一阶导和二阶导的点积为0。
最后补充一个结论：所有切线过定点的曲线是直线。