0的阶乘为什么等于1？从三个角度理解这个数学规定

0的阶乘为什么等于1？从三个角度理解这个数学规定

引用

高三网

1.

http://m.gaosan.com/gaokao/834102.html

在数学中，0的阶乘（0!）被定义为1，这个看似反直觉的规定背后其实有着深刻的数学原理。本文将从多个角度解释为什么0的阶乘等于1，帮助读者理解这个重要的数学概念。

0的阶乘就是1，这是人为的规定。一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。简单一点是认为规定的，但它是有道理的，因为阶乘是一个递推定义，n!=n*(n-1)!，那么必然有一个初值需要人为规定。

0的阶乘等于1是为什么

简单的说，0! = 1 是为了保证阶乘运算的完整性和一致性。
我们来回顾一下阶乘的本质：
阶乘（Factorial）其实就是把所有小于等于该数的正整数相乘。比如5的阶乘，也就是5! = 5* 4 * 3 * 2 * 1 = 120。
那么问题来了，如果我们把阶乘运算扩展到0，该如何定义0!呢？
答案是：0! = 1。
为什么呢？

1. 为了保持组合数公式的完整性。
   组合数公式告诉我们，从n个不同元素中选取r个元素的组合数为 C(n, r) = n! / (r!* (n-r)!).
   例如，从5个元素中选取3个元素的组合数为 C(5, 3) = 5! / (3!* 2!) = 10。
   当我们想计算从n个元素中选取0个元素的组合数时，公式就会变成：C(n, 0) = n! / (0!* n!)。
   为了使公式成立，我们必须定义0! = 1，这样才能约去分母中的0!，得到 C(n, 0) = 1。
2. 为了保证阶乘运算的递归性。
   递归性是指一个函数可以调用自身。阶乘运算可以递归定义：n! = n* (n-1)!。
   当n = 1时，1! = 1* 0!。
   为了使公式成立，我们必须定义0! = 1，这样才能保证1! = 1。
3. 从空集的角度思考。
   空集代表一个没有任何元素的集合。我们知道，一个集合的排列组合数是该集合元素个数的阶乘。而空集的元素个数为0，所以空集的排列组合数为0!。
   由于空集只有一个排列方式（即没有任何元素），所以0! = 1。
   简单总结一下：
   0! = 1 并不是一个任意的规定，而是为了保证阶乘运算的完整性、一致性和递归性，以及为了与空集的排列组合数相一致而得出的结论。
   以下表格可以更直观地展示阶乘运算的规律：

我们可以看到，阶乘运算是一个递增的序列，而0! = 1 恰好是这个序列的起点。

0的阶乘等于1证明

在数学中，阶乘是一个非负整数的乘积，通常表示为n！，其中n是一个非负整数。当n等于0时，其阶乘等于1，这是因为：
任何数的0次幂都等于1，因此0的阶乘可以写成：0! = 0⁰ = 1
另一种解释是，阶乘是一种计算组合问题的方法，其中0个对象的组合数量只有1种。也就是说，如果有0个对象进行组合，那么只有一种组合情况。
因此，0的阶乘等于1，这是由数学定义和组合学原理所决定的。