概率论中的泊松分布：概念、推导与应用
概率论中的泊松分布：概念、推导与应用
泊松分布是概率论中一个重要的分布模型，主要用于描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率分布。例如，它可以用来计算某个时间段内电话交换机接收到的电话数量，或者某个区域内出现的缺陷数量。泊松分布的引入极大地简化了这类问题的计算过程，使得原本复杂的二项分布计算变得简单可行。
（一）泊松分布是什么
泊松分布是用于近似二项分布的情况的。二项分布有两个参数，一个是事件发生的概率p，一个是试验的总数n。当p非常小且n也有一定大的时候（n大于等于20，p小于等于0.05），就可以用泊松分布来近似二项分布，用泊松分布来近似二项分布的好处是计算方便。
（二）泊松分布公式以及通俗地推导过程
泊松分布公式：
通俗推导：
假设某一零件厂每天生成的次品数如下：
周一 周二 周三 周四 周五
3 7 4 6 5
均值为：
假设我们把每天工厂生产时间设为T：
再把T分为n=4份，并把周一生产出的三个次品放进去：
此时工厂在每个时间段生成次品的概率就如同抛硬币，要么出现，要么不出现，这样子工厂生产次品的概率符合二项分布：
但当把数据换成周二的7个次品呢？
则出现每个时间段多余一个次品的情况，这样的话就不符合二项分布了。要使其符合二项分布，就必须使n变大，现在让我们把n=8：
这样子又能符合二项分布了：
即只要不出现一个时间段内出现两个次品的情况，就能用二项分布解决。
为了达成一个时间段内不出现两个次品的条件，我们干脆把n趋向于无穷，因为n越大，T分成的时间段就越多：
更抽象一点，T时间里出现k个次品的概率为：(式子1)
上式中，n趋于无穷，k是可以确定的，那么p应该怎么求呢？
上面的式子1，已经符合二项分布的，而二项分布的期望为：
因此：
----（式子2）
有了式子2后，式子1可以变成：
计算这个极限：
**因为当
时：**
所以：
**最后把
，得到泊松分布的概率密度函数的公式：**
画出概率密度函数：
当k=8时，绿色部分加起来为0.93，即每天生产次品不超过8个的概率为0.93
（三）总结：
当p十分小且n也比较大的时候可以推荐用泊松分布（n大于等于20，p小于等于0.05）。
（四）例题分析计算
计算机硬件公司制造某芯片，次品率为0.1%，各芯片称为次品相互独立，求在1000个产品中至少有2只次品的概率，以X记产品中的次品数。
解：
用二项分布：
用泊松分布计算：
**由提：
，代入泊松分布的式子：**
显然用泊松分布计算方便一点。