数系的扩张—域扩展，揭示了数学对象的对称性和内在规律
数系的扩张—域扩展，揭示了数学对象的对称性和内在规律
当我们谈论解多项式方程时，我们实际上是在谈论数系的扩展。从有理数到实数，再到复数，每一次扩展都揭示了数学对象的对称性和内在规律。本文将带你走进域扩展的世界，探索数学中最深奥的对称性之美。
我们使用x或其他符号来表示未知数的历史已经有几千年了，所以一提到这样的数学问题，大家可能会觉得数学家肯定能解决所有的算术方程，对吧？其实并非如此。这正是阿贝尔和伽罗瓦当年所研究的问题。
简化是多项式方程的重要部分。即使是像这样的复杂多项式方程，
也可以简化成这样的形式：
多项式的一边是零。它看起来仍然很复杂，但关键是，这种形式相较于其他形式有一个优势，因为它有一个已经被证明有效的古老方法可以解它。实际上，对于二次多项式方程、三次多项式方程和四次多项式方程，这种简化形式已经有相应的公式。
然而，当研究到五次多项式时，进展在相当长的一段时间内停滞了。确实，针对某些特定类型的五次多项式，人们已经开找到了一些公式，但至今仍未找到可以解所有五次多项式方程的通用公式。
1824年，尼尔斯·阿贝尔发现了一个五次多项式，并证明这个多项式无法仅靠算术运算和开方运算来解答。解虽然存在，但无法通过简单的算术和开方表达出来。这就引出了“域（field）”的概念。
一个集合 S，如果它带有加法和乘法运算，且能够构成一个“域”，那么首先，S和它的加法运算必须形成一个阿贝尔群，这意味着它不仅满足群的四个基本性质，
还必须具有交换性。其次，去掉加法群中的单位元素零后，剩下的集合在乘法下也需要形成一个阿贝尔群。最后，加法和乘法之间必须满足分配律。
仔细想想，自然数集合无法成为一个域，自然数集合无法成为一个域，因为它既不满足加法构成阿贝尔群（条件一），也不满足去掉零后乘法构成阿贝尔群（条件二）。
- 自然数集合中缺少加法的逆元。例如，对于 3∈N，其加法逆元应为 −3-3−3，但 −3-3−3 不属于自然数集合。
- 自然数集合中缺少乘法的逆元。例如，对于 2∈N，其乘法逆元应为 1/21，但 1/2 不属于自然数集合。
而整数集合同样不行，因为它不满足第二个条件。然而，有理数集合却满足所有这些条件，因此它是一个“域”。
求解多项式的过程可以被看作是扩展有理数域以包含多项式的根或解的过程。例如，我们知道二次方程通常需要我们取平方根来获得解。一些平方根是有理数，会得到有理数解，但如果取的是2的平方根呢？这个数字属于实数域，超越了有理数。继续前进，有些方程，比如
它的解甚至不是实数。这会将我们带到超越实数的领域，也就是复数领域。
因此，引入根式将会超越有理数的范围，正如解多项式方程所体现的那样。这一切最终归结于对超出有理数范围的运算的分析。而在分析这些运算时，需要明确究竟应将范围扩展到何种程度。这正是伽罗瓦理论的核心所在。
对于所有系数属于复数域的多项式，其根也必定位于复数域中，因为复数是一个代数闭域。而实数和有理数这样的域则属于非代数闭域，因为存在某些系数属于这些域的多项式，其根却不在这些域内。
复数都可以表示为 a+bi的形式。由于这种由两部分组成的结构，可以将每个复数看作平面坐标系中的一个点，其中点的坐标为 a，b而x轴表示实数轴。
事实上，从这些复数根中可以看出一种对称性：每个根在x轴上都有一个关于轴的镜像反射，因此沿x轴上下翻转会保持根的集合形状。这种对称关系被称为共轭复数。
这被称为复共轭根定理。该定理指出，如果r是多项式的一个根，那么它的共轭也是相同多项式的一个根。这意味着每个多项式的根在复平面上的x轴具有镜像对称性。
这只是伽罗瓦理论中的一种对称性。为了找到另一种，需要熟悉一个非常重要的概念。为了理解它，需要回到因式分解。
为了求解这个方程，实际上不需要一个公式。我们可以因式分解它，
以这个方程为例
我们知道它的一个有理根是 −1/3。知道这一点后，我们可以将一次因子（3x+1）分解出来。
通过多项式除法，原来的三次多项式可以分解为
然而，右边二次表达式的根是复数。由于这些根不是有理数，无法进一步分解成有理系数的多项式，因此我们称之为对有理数不可约。
这些内容之所以值得关注，是因为它们的根已经超出了有理数的范围，因此我们需要将数系扩展到更大的范围。这种扩展催生了新的数学符号，除了算术和自然数外，还引入了根号符号。例如，对于方程x^2 - 2 = 0，它没有有理数解，于是数学家创造了根号符号，用来表示平方等于 2 的数。
判断一个多项式是否不可约有时很难，但像爱因斯坦判别准则这样的定理可以帮助我们。它指出，如果一个多项式具有整数系数，并且我们能找到一个满足以下两个条件的素数 p，则这个多项式是不可约的：第一，最高次项系数不是p^2的倍数；第二，常数项（没有x的那一项）不是2 的倍数。
例如，对于这个多项式，
可以使用素数p = 2来判断它是不可约的。
最后，我们可以通过不可约多项式来分析那些超出有理数范围的根式。这些运算被称为域扩展。让我们来看一个简单的例子：
为了求解某些问题，我们需要将数系扩展到多大的范围？结果必须是一个能够进行算术运算的数系，也就是所谓的“域”，而不仅仅是包含根号2的形式化表达。
我们希望找到超出有理数范围的最小域，这个域被称为
它包含了所有有理数 Q、根号2，以及通过算术运算从根号2推导出的所有数。
更正式的说法是“由根号2生成的有理数域”，例如
它们可以简化为更小的形式，比如
有趣的是，（Q根号2）中的任何元素都可以简化为以下的形式，
其中a 和b 是有理数，这与我们之前看到的复数类似。
这种扩展域在复平面中很难可视化，因为有理数 Q和（Q根号2） 看起来与实数一样，即 x轴。因此我们可以这样来看它：比有理数域更大，但比实数域更小。
让我们看看伽罗瓦理论如何展示（Q根号2）的对称性。
多项式的伽罗瓦群是关于它的根的对称性的一个群。这些对称性通过根的排列或交换来表示，同时保持多项式所定义的代数关系。例如，对于
它的两个根可以保持原样（什么都不做，相当于恒等变换），或者被交换。根的可能置换集写作：
我们需要弄清楚的是简单的：根是否可以互换？如果可以，那么G是C_2，并且是一个同构。如果不能，那么G就是一个平凡群。
问题是：我们能否通过算术方程区分：
如果可以，根之间没有对称性；如果不能，它们可以轻松互换。由于算术没有平方根符号，我们将根写为r_1和r_2，
不能用以下的方式区分：
因为使用了根号2，因此这并不是有理数方程。
我们允许类似如下的表达，
但这无法区分两个根，因为可以以任意顺序把r1和r2放一起，答案仍然成立。如果我们将其写成方程
会遇到同样的问题。
无论尝试多少次，都找不到方法通过仅使用算术方程区分x^2 - 2 = 0的根。因此，这两个根从有理数的角度来看是相同的。
这对于所有
都是如此。这就是我们所说的伽罗瓦理论是关于对称性及其域扩展的研究。还有许多计算伽罗瓦群的不同例子，涉及更深层次的概念，但这些我们没有篇幅在这里讨论。