二轮平衡车运动分析及动力学建模
二轮平衡车运动分析及动力学建模
本文详细介绍了二轮平衡车的运动分析及动力学建模。从平衡车的物理结构开始，逐步深入到受力分析、动力学方程的推导，最终建立了平衡车的运动模型，并通过MATLAB仿真验证了模型的正确性。
系列博客
- 【控制实践——二轮平衡车】【一】运动分析及动力学建模
- 【控制实践——二轮平衡车】【二】实物设计和开源结构&代码
- 【控制实践——二轮平衡车】【三】基于PID的直立控制
- 【控制实践——二轮平衡车】【四】基于ADRC算法的直立控制
- 【控制实践——二轮平衡车】【五】转动运动模型及控制方法
前言
之前本科期间也做过二轮平衡车（后简称平衡车）的实践，但当时是抄了别人的开源代码来实现的，用的是最常见的PID控制器，参数调试也是玄学调参法，一天一套参数。对于平衡车的理解处于一个非常肤浅的状态（实现出来只能说明具有一定复制粘贴的实践能力而已），更没有系统地对平衡车的运动过程进行详细分析，更别说是控制器相关的设计（博主不是自动化专业的）。
因此！
出于对过去马虎瞒混的弥补，以及对于每年依然有很多的新人会入门平衡车类型的控制实践项目，想好好地系统地不应付地做一个平衡车控制实践的系列，包括理论、仿真、造实物的调试，会以一个低门槛的，尽可能通俗易懂的形式呈现。
有疑问或发现错误的地方，欢迎提出！
平衡车的物理结构
平衡车的物理模型可以简化为质量杆部分和轮子部分，质量杆和轮子的连接可以简化为理想轴承连接的方式。轮子支撑着质量杆，质量杆受到轮子的力并且可以绕着轮子中心转动，
理想轴承连接等于：1.忽略二者之间的转动摩擦 2.二者刚性连接
。
忽略地面对轮子的阻力
这是一个重要的理想简化前提，与后面的受力分析有关，如果以不同的方式来简化模型会有不同的结果
平衡车的受力分析
平衡车有两个主要部分，轮子和质量杆，因此我们定义以下的一些物理量：
- $m_p$：质量杆的质量，p是杆英文pole的首字母；
- $m_w$：轮子的质量，w是杆英文wheel的首字母；
- $l$：轮子质心到质量杆质心的距离；
- $\alpha$：质量杆质心绕轮子转动的角度，以逆时针为正；
- $\omega$：质量杆质心绕轮子转动的角速度，以逆时针为正；
- $x_p$：质量杆质心的X轴位移量，以向右为正；
- $x_w$：轮子质心的X轴位移量，以向右为正；
- $y_p$：质量杆质心的Y轴位移量，以向上为正；
- $F_N$：轮子对质量杆竖直向上的支持力；
- $F_N'$：质量杆对轮子竖直向下的反作用力；
- $F_T$：轮子对质量杆产生的水平方向的力；
- $F_T'$：质量杆对轮子产生的水平方向的反作用力；
轮子
对于轮子而言，它受到的力如下：
其中，N是地面对轮子的支持力。
质量杆
对于质量杆而言，它受到的力如下：
可以得到，
$$F_N' = -F_N$$
$$F_T' = -F_T \ \tag{1}$$
思考时间：为什么轮子对于质量杆的力要分开成XY轴的力，以及二者的合力是否始终沿着质量杆和轮子的轴线？
- 第一个问题是因为后续进行运动分析的时候，就是基于XY轴分解进行的，将作用力分解方便后续的分析。
- 第二个问题，二者的合理不始终沿着质量杆和轮子的轴线。这就好比以轮子质心为原点建立一个相对坐标系。而轮子又是会运动的，因此对质量杆的力就包括了切向力和法向力。二者的合力就不一定在轴线上。
这里涉及到一些惯性力的相关知识。有兴趣的话后期出一篇博客来补充。
平衡车的动力学方程
对于平衡车的轮子部分来说，他的运动范围只有X轴；对于质量杆质心，他的运动范围则有XY两个轴。
轮子的动力学方程
$$m_w \ddot{x}_w = F_T' \ \tag{2}$$
质量杆的动力学方程
- X轴方向
由于质量杆是固连在轮子上的，其位移既受到轮子位移$x_w$的影响，也受到$\alpha$，满足以下关系：
$$x_p = x_w - l \cdot sin\alpha$$
这里的负号是因为角度的方向判定决定的，翻上去看看定义。
因此其运动方程为
$$m_p \ddot{x}_p = F_T$$
$$\Rightarrow m_p ( x_w - l \cdot sin\alpha)''=F_T$$
$$\Rightarrow m_p \ddot{x}_w - m_p l(\dot{\alpha} cos \alpha)'=F_T$$
$$\Rightarrow m_p \ddot{x}_w - m_p l(\ddot{\alpha} cos \alpha-\dot{\alpha}^{2}sin\alpha )=F_T$$
$$\Rightarrow m_p \ddot{x}_w - m_p l\ddot{\alpha} cos \alpha+m_p l\dot{\alpha}^{2}sin\alpha =F_T \ \tag{3}$$
- Y轴方向
质量杆的Y轴位移就与轮子无关了，满足以下关系
$$y_p = l \cdot cos\alpha$$
则动力学方程为
$$m_p \ddot{y}_p = F_N - m_p g$$
$$\rightarrow m_p \ddot{y}_p = F_N - m_p g$$
$$\rightarrow m_p l(-\ddot{\alpha} sin\alpha-\dot{\alpha}^{2}cos\alpha )=F_N-m_p g$$
$$\rightarrow m_p g-m_p l\ddot{\alpha} sin\alpha-m_p l\dot{\alpha}^{2}cos\alpha =F_N \ \tag{4}$$
平衡车整体位移运动过程
联立上述中公式1, 2, 3，可以得到
$$m_p \ddot{x}_w - m_p l\ddot{\alpha} cos \alpha+m_p l\dot{\alpha}^{2}sin\alpha = -m_w \ddot{x}_w$$
整理后得到
$$(m_p+m_w) \ddot{x}_w = m_p l\ddot{\alpha} cos \alpha-m_p l\dot{\alpha}^{2}sin\alpha \ \tag{5}$$
平衡车整体转动运动过程
- 在进行转动描述时，要引入的是相对坐标系和绝对坐标系的概念。以轮子中心为原点，竖直向上为Y轴正方向，水平向右为X轴正方向，建立平衡车的相对坐标系。绝对坐标系则是以地球平面建立。
- 在相对坐标系中，质量杆的质心点只围绕轮子中心做转动运动；而在绝对坐标系中，质量杆的质心则是随着轮子的位移做转动和平动的复合运动。通常在描述质量杆质心转动时，是基于相对坐标系进行的，但相对坐标系并非与绝对坐标系相对静止，所以在相对坐标系中描述转动运动时，需要引入惯性力来补充。
其中
$$F_{inertia} = m_p \ddot{x}_w$$
满足以下关系
$$J \ddot{\alpha} = m_p gl sin\alpha+F_{inertia}lcos\alpha$$
$$\rightarrow J \ddot{\alpha} = m_p gl sin\alpha+m_p \ddot{x}_wlcos\alpha \tag{6}$$
其中，J是质量杆绕轮子中心转动的转动惯量。
平衡车运动模型
根据我们的理想简化模型，最终我们得到了两个公式
$$(m_p+m_w) \ddot{x}_w = m_p l\ddot{\alpha} cos \alpha-m_p l\dot{\alpha}^{2}sin\alpha \ \tag{7}$$
$$J \ddot{\alpha} = m_p gl sin\alpha+m_p \ddot{x}_wlcos\alpha \tag{8}$$
对于这两个公式而言，是基于不同坐标系下分析得到的。
- 公式（7）描述了
惯性系
下（以地面为参考系），不同的初始角度$\alpha_0$，$\dot{\alpha}_0$会如何使轮子运动$\ddot{x}_w$ - 公式（8）描述了
非惯性系
下（以轮子中心为坐标原点，竖直向上为Y轴，水平向右为X轴），轮子的运动$\ddot{x}_w$以及重力的作用$m_p gl sin\alpha$如何影响角度变化（即平衡车的转动）。
可以看出，在不考虑阻力和无外力作用（轮子不会主动运动）的情况下，角度的运动$\dot{\alpha}$，$\ddot{\alpha}$（转动运动）会带动轮子的运动$\ddot{x}_w$，而轮子的运动$\ddot{x}_w$进而会重新影响角度的运动$\ddot{\alpha}$（转动运动），形成正反馈的循环，使平衡车加速倒下。
将公式（7）和公式（8）合并后整理得到：
$$(J-\frac{m_{p}^{2}l^{2}cos^{2}\alpha}{m_{p}+m_{w}}) \ddot{\alpha}} =\ m_{p}gl sin\alpha-\ \frac{m_{p}^{2}l^{2}sin\alpha cos\alpha}{m_{p}+m_{w}} \dot{\alpha}^{2} \tag{9}$$
平衡车运动仿真
对平衡车系统进行运动仿真，仿真参数如下：
- $m_p = 0.4kg$
- $m_w = 0.1kg$
- $l = 0.12m$
- $J = m_pl^2kg\cdot m^2$
- $g = 9.8m^2/s$
初始状态分别为：
- $\alpha_0 = 10°$
- $\dot{\alpha}_0 = 0°/s$
通过调节不同的系统初始状态$\alpha_0$，$\dot{\alpha}_0$观察平衡车系统的运动状态。
clear all;
mp = 0.4;
mw = 0.1;
%质量
l = 0.12;
%长度
g = 9.8;
%重力加速度
J = mp*l*l;
%转动惯量
a0 = 10 / 180 * pi;
da0 = 0 / 180 * pi;
x0 = 0;
dx0 = 0;
%初始状态
T = 0.01;
%仿真周期
n = 1000;
%仿真步数
a = zeros(n,1);
da = zeros(n,1);
dda = zeros(n,1);
x = zeros(n,1);
dx = zeros(n,1);
time = zeros(n,1);
coef = zeros(n,1);
a(1) = a0;
da(1) = da0;
k = 0;
for i = 1:1:n-1
coef(i) = (J - (mp*mp * l*l * cos(a(i))*cos(a(i))) / (mp+mw) );
dda(i+1) = (mp*g*l*sin(a(i)) - ((mp*mp * l*l *sin(a(i))*cos(a(i)))/(mp+mw)) * da(i)*da(i)) / coef(i);
%角加速度
da(i+1) = da(i) + dda(i)*T;
%角速度
a(i+1) = a(i) + da(i)*T;
time(i+1) = i * T;
if a(i+1) >= pi / 2
k = i;
break
end
end
figure(1);
plot(time(1:k),a(1:k)/pi*180,'r');
legend('a');
xlabel('time/s');
ylabel('°/s')
- 实验结果
可以看出，平衡车在无阻力和外力作用下，将会倒的越来越快，符合公式里正反馈的特性。