如何直观理解正规子群？

如何直观理解正规子群？

正规子群是群论中的一个重要概念，它在抽象代数、几何学和物理学中都有广泛的应用。本文将通过类比线性代数中的相似矩阵，以及使用具体的数学例子和可视化方法，帮助读者直观理解正规子群的定义和性质。

正规子群的定义

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，若对于 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gHg^{-1} = H$，即
$$
\forall g \in G, \ gH g^{-1} = H
$$
则称 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群（Normal Subgroup），记作 $H \trianglelefteq G$。

在群论中，两个群元素 $a$ 和 $b$ 被称为共轭的，如果存在一个群元素 $g$ 使得
$$
b = g a g^{-1}
$$

扩展到群，如果满足：
$$
gHg^{-1} \subseteq H \quad \forall g \in G
$$
这就是正规子群的定义。即：如果整个子群每个元素共轭后仍然属于这个子群，那么这个子群是正规的。

与线性代数的类比

相信学过线代的大学牲们已经反应过来了。两个矩阵 $A$ 和 $B$ 被称为相似的，如果存在一个可逆矩阵 $P$ 使得
$$
B = P A P^{-1}
$$
相似的两个矩阵特征值、秩等都是一样的。这其实就是共轭。矩阵相似保持线性算子的结构特性不变。同样的，正规子群 $H$ 的定义确保了 $H$ 对群 $G$ 的共轭操作是封闭的，保持了子群的结构不变。

因此，从直观上看，正规子群 $H$ 是群 $G$ 中一个在「内部结构上对称且稳定」的部分。无论我们如何通过群 $G$ 的元素对 $H$ 进行「旋转」或「翻转」（即共轭操作），$H$ 都不会改变其自身的结构和性质。

具体例子

例子1：实数加法群的子群

考虑实数的加法群 $(\mathbb{R}, +)$ 和其子群 $H = \mathbb{Z}$（整数集合）。对于任意 $g \in \mathbb{R}$，有：
$$
g + \mathbb{Z} - g = \mathbb{Z}
$$
这表明 $\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{R}$ 的正规子群。从结构观点，表明对整数在数轴上平移，然后移回，整数自身不变。

反例：对称群的子群

考虑对称群 $S_3$（所有排列的群）和其子群 $H = { e, (1,2) }$。取 $g = (1,3)$，则：
$$
gHg^{-1} = { e, (1,3)(1,2)(1,3)^{-1} } = { e, (2,3) } \neq H
$$
因此，$H$ 不是 $S_3$ 的正规子群。从结构观点，也可以直观理解，对于 $(1,2)$，先进行 $(1,3)$ 置换，再进行 $(1,2)$ 置换，最后 $(3,1)$ 无法换回 $(1,2)$。或者简言之涉及了翻转，翻转之后再进行别的变换，然后翻转回来，不保证和原来的操作效果一样。

例子2：三角形的旋转对称

$S_3$ 的 3-周期置换：$(123)$、$(132)$ 并上单位元，是一个正规子群。直观上理解可以看作是三角形的旋转对称。它们将三角形顺时针或逆时针旋转 120 度。这是因为你旋转之后，再进行别的变换比如翻转，再旋转回来，可以保证和仅翻转一样。

可视化例子：仿射变换中的正规子群

再来个可视化的例子：

示范对三角形的旋转，这个三角形不在原点。共轭操作的直观原理是将三角形平移到参考点（原点）然后施加旋转，然后再平移回原位置。（学图形学的同学是不是感到眼熟了）

仿射变换在平面上形成一个群，通常表示为 $\text{Aff}(2)$，其元素可以表示为：

$$
\begin{bmatrix}
A & \mathbf{b} \
\mathbf{0}^T & 1
\end{bmatrix}
$$
其中 $A$ 是线性变换（如旋转、缩放等），而 $\mathbf{b}$ 是平移向量。

所有仅包括平移的仿射变换构成一个子群 $T \subseteq \text{Aff}(2)$。这个子群是正规子群，因为对于任意的仿射变换 $g \in \text{Aff}(2)$，有：
$$
gTg^{-1} \subseteq T
$$
这意味着平移子群在仿射变换群中是封闭且不变的。

代码示例

下面是一个使用Python和Matplotlib的代码示例，演示了如何通过仿射变换实现三角形的平移和旋转：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

triangle = np.array([[1, 1], [2, 3], [3, 1]])

triangle_homogeneous = np.hstack((triangle, np.ones((triangle.shape[0], 1))))

T = np.array([
    [1, 0, -2],
    [0, 1, -2],
    [0, 0, 1]
])

T_inv = np.linalg.inv(T)

theta = np.radians(45)

R = np.array([
    [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
    [np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
    [0, 0, 1]
])

def plot_triangle(triangle, title, filename):
    plt.figure()
    plt.plot(*triangle.T, 'o-', label='Triangle')
    plt.fill(*triangle.T, alpha=0.3)
    plt.legend()
    plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
    plt.title(title)
    plt.savefig(filename)
    plt.close()

triangle_translated = (T @ triangle_homogeneous.T).T
plot_triangle(triangle_translated[:, :2], 'Translated to Origin', 'step2_translated.png')

triangle_rotated = (R @ triangle_translated.T).T
plot_triangle(triangle_rotated[:, :2], 'Rotated', 'step3_rotated.png')

triangle_final = (T_inv @ triangle_rotated.T).T
plot_triangle(triangle_final[:, :2], 'Moved Back', 'step4_final.png')

plot_triangle(triangle, 'Original Triangle', 'step1_original.png')

这段代码首先定义了一个三角形，然后通过仿射变换将其平移到原点，进行旋转，最后再平移回原位置。通过可视化这些步骤，可以直观地理解正规子群在共轭操作下的不变性。