一课研究之“如何理解‘求捆瓶子中绳长问题’的圆弧拼合部分”的实践研究
一课研究之“如何理解‘求捆瓶子中绳长问题’的圆弧拼合部分”的实践研究
本文探讨了如何理解“求捆瓶子中绳长问题”的圆弧拼合部分，通过三个教学环节（简单入手、增加难度、拓展练习）详细解释了如何将绳子的长度分解为圆的周长和直径的组合，并通过动态感知和画图表征等方法帮助学生理解圆弧拼合的原理。
听一听：聚焦数量关系 发展推理意识
张淑娴、钟立在《教学月刊》2024年第四期发表的文章《聚焦数量关系 发展推理意识 --人教版教材六年级下册“数学思考：探索规律”的教学实践与思考》中，深入探讨了如何通过教学实践培养学生的数学推理能力。
读一读：如何理解“求捆瓶子中绳长问题”的圆弧拼合部分
人教2022年版六年级上册教材在练习中有一道“求捆瓶子中绳长问题”的练习（如下图）：
这是学生在学习“圆的周长”后遇到的一道圆在生活中应用的问题，这道题讨论的是如何将一周的绳长分解成若干部分（圆的周长+若干直径）再求和。这个问题的解决有利于学生巩固圆周长的概念；通过图形分割拼合，把逐步的周长拼成一个整圆的过程有利于培养学生的空间观念；这道题的解题思路对学生解决“滚动的圆”、“确定起跑线”等需要分割拼合成整圆的问题有一定程度的启示。这题中图形拼合把逐步的周长拼成整圆的过程对学生来讲是一个难点，可以采用以下教学过程。
一、简单入手，学会分解
呈现问题：把2个圆柱形物体捆成如图1的形状（从底面方向看），每个瓶子的直径为7厘米，如果接头处不计，捆一圈至少需要多长的绳子？
学生理解提议后尝试描出由绳子围成的一周边线，并引导学生思考：绳子可以分成哪几部分？分别与圆的什么长度有关？
学生独立操作后，反馈方法：将绳子分成4部分（如图2），左、右两边的部分都是圆周长的一半，两条直的线与直径相等。因此绳长=圆的周长+直径×2，绳长=7π+14厘米。
教师追问：为什么两条圆弧合起来正好是一个圆？学生独立思考后反馈交流。两条圆弧正好是圆周长的一半，所以合起来是一个圆的周长。
二、增加难度，学会推理
呈现问题：把4个圆柱形物体捆成如图3的形状（从底面方向看），每个瓶子的直径为7厘米，接头处不计，捆一圈至少需要多长的绳子？
学生独立解决后同桌交流。将绳子分解成4条圆弧和4条直径（如图4）。4条圆弧合起来是一个圆的周长，每条直的线与直径相等。因此绳长=圆的周长+直径×4，绳长=7π+28厘米。
教师引导学生思考：为什么4条圆弧合起来正好是一个圆？学生独立思考后反馈交流。每条圆弧正好是圆周长的四分之一，所以合起来是一个圆的周长。
三、拓展练习，深入理解
呈现问题：把3个圆柱形物体捆成如图5的形状接头处不计，捆一圈至少需要多长的绳子？
学生独立解决后，四人小组交流方法。将绳子分解成3条圆弧和3条直径（如图6）。3条圆弧合起来是一个圆的周长，每条直的线与直径相等。因此绳长=圆的周长+直径×3，绳长=7π+21厘米。
学生对于每条圆弧所对圆心角为120°有困难，因此在3条圆弧拼成一个圆周长的部分，采取两种方法帮助学生理解。
方法一：动态感知，想象移拼
教师呈现示意图（如图7），要求学生自主操作，用笔尖代替图片上的箭头，从起点开始转一周，描出捆三个圆柱形的绳长，变描边思考，圆弧部分拼成了什么图形？
学生独立完成操作后反馈：笔尖从起点出发，沿着箭头转一周，发现笔尖所经过圆弧部分的路径正好是一个圆形。因此圆弧部分拼起来的长度正好为圆的周长。
方法二：画图表征，推理说明
教师出示图5，让学生独立尝试画分割线。
学生独立尝试后，教师直观演示画图方法：将相邻两个圆的圆心链接，得到一条线段。分别通过这两个圆心作这条已知线段的垂线（即圆的半径），并连接半径与圆相交的两点，得到绳子的线段部分，从而将绳子分成圆弧和直线两部分（如图6）。
接着引导学生思考：曲线部分有什么特点，拼起来是怎样的图形？
学生独立思考后，进行全班交流。
（1）图6中，三个圆的圆心两两相连，构成三条线段。这三条线段长度相等，形成了一个等边三角形，每个内角都为60°。
（2）在分割过程中，通过圆心作圆心连线的垂线，夹角为90°。因此，绳子的线段部分、相邻两个圆心间的连线以及两条垂线（即圆的两条半径）共同构成一个长方形，内角为90°。
根据以上信息，可以推断每个圆内圆弧部分所对的圆心角为：360°-90°-90°-60°=120°。因此，每段圆弧的长度是一个圆周长的，即120°÷360°=。分割后有三段圆弧，合起来正好是一个圆的周长。
笑一笑：数学是不会骗人的
老师说：“一座房子，如果一个人要花上十二天盖好，十二个人就要一天。”“二百八十八人只要一小时就够了。”
一个学生接着说：“一万七千二百八十人只要一分钟，一百零三万六千八百人只要一秒钟。此外，如果一艘轮船横渡大西洋要六天，六艘轮船只要一天就够了。数字是不会骗人的！”
四杯25°的水加在一起就变开水了！