数学建模中的常用插值算法与代码实践

数学建模中的常用插值算法与代码实践

在数学建模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析。而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。本文将详细介绍数学建模中的常用插值算法及其代码实践。

一、插值法的定义

插值法是一种数值分析方法，用于根据已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些数据点上取给定的值。插值法广泛应用于科学计算、工程设计、数据处理等领域。

二、非重点插值法的介绍

在现代数值分析中，有多种插值算法，其各有优劣，在本篇文章中会粗略介绍非重点插值方法。

1.多项式插值

多项式插值是最基本的插值方法之一，通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。多项式插值的优点是计算简单，但当数据点较多时，可能会出现龙格现象。

2.拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种常用的多项式插值方法，通过构造拉格朗日基函数来实现插值。拉格朗日插值的优点是计算公式简单，但当数据点较多时，计算量会很大。

（1）低阶拉格朗日插值

低阶拉格朗日插值适用于数据点较少的情况，计算简单且精度较高。

（2）拉格朗日插值的抽象数学表达

拉格朗日插值的数学表达式为：
[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x) ]
其中，(L_i(x))是拉格朗日基函数。

3.分段插值法

分段插值法通过将多个数据点分成n-1个小区间，对这些小区间分别进行插值，有助于提高精度。

（1）分段线性插值与分段二次插值

分段线性插值和分段二次插值是两种常见的分段插值方法。分段线性插值通过连接相邻数据点的直线段来实现插值，而分段二次插值则通过二次多项式来逼近数据点。

（2）牛顿插值法

牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造牛顿插值多项式来实现插值。牛顿插值法的优点是计算量较小，但当数据点较多时，计算量仍然较大。

三、龙格现象

龙格现象简单来说就是在两端处波动极大,产生明显的震荡。这种现象在高阶多项式插值中尤为明显，会导致插值结果的不稳定性。

四、为什么不选择上述的插值方法？（省流：不光滑）

上面讲的插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，而这种插值多项式却不能全面反映被插值函数的性态。然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。

五、埃尔米特(Hermite)插值

1.埃尔米特插值的基本思路与原理

埃尔米特插值是一种同时考虑函数值和导数值的插值方法。它通过构造埃尔米特插值多项式来实现插值，可以更好地反映函数的性态。

2.分段三次埃尔米特插值的代码实现

直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)。

（1）pchip代码

使用pchip代码得到的结果是依据原数据点，把新数据点x_new向量给出对应的y_new。

（2） plot函数可视化

plot函数中，可以设置第三个参数来调整数据点的连接方式与颜色,顺序为：颜色——点——线

六、三次样条插值

1.三次样条插值的原理

三次样条插值是一种分段插值方法，通过构造三次样条函数来实现插值。三次样条插值的优点是计算精度高，且插值结果光滑。

2.三次样条插值的代码实现

（1）pline函数

pline函数用于实现三次样条插值的具体计算。

（2）legend（图例） 函数

legend函数可以给图例命名与调整图例的方向。

(3)插值结果对比

通过对比不同插值方法的结果，可以直观地看到三次样条插值的优势。

七、n维数据的插值

在数学建模中，一般不会直接给一个多项函数让你插值，因此此处仅作了解。