数学科普：虚数的产生和复数的应用
数学科普：虚数的产生和复数的应用
虚数简史
（理解负数的概念有助于赫伦解决他的金字塔问题。）
大约在公元50年，亚历山大的赫伦出于至今未知的原因尝试寻找本不存在的金字塔横切面。在此过程中，赫伦发现需要计算（81-144）的平方根，然后他就非常理智地放弃了。当时他还不知道负数的概念，更不用说计算负数的平方根了。但是，这是首次出现虚数的已知案例，因此赫伦理应获得一定的称誉。即便在邦贝利以虚数应得的尊重对待它们之后，虚数仍然并不那么合法。笛卡儿在几个世纪之后将其命名为“虚”数（指“虚构”的数），并写道：我呼吁数学家们不要再创造这种现实中并不存在的事物。
（亚历山大的赫伦构造了已知的首个虚数。）
正如大多数数学概念的故事一样，是欧拉将虚数的发展引入正轨。欧拉在其著作《代数的要素》中引入了虚数，而且他并未为这种行为进行任何的道歉。欧拉是首个发现公式eiθ≡cos(θ)+i sin(θ)的数学家，这可以导出著名的欧拉恒等式：eiπ+1=0。
欧拉恒等式经常被数学家们投票选为最漂亮的等式，它将数学中5个最重要的常数e、i、π、1和0以及3种最重要的运算（加法、乘法和求幂）联系起来，当然还有等号，它是整个数学大厦的基石。
复数的用途
在长达几个世纪的时间里，复数几乎仅仅作为理论对象出现。复数简化了三次方程和四次方程的求解方式，简化了多项式理论（每个复系数n次多项式均有n个根），简化了正弦和余弦的表达式。复数的确简化了很多数学理论，但这些简化并非是不可或缺的。
但是在物理学的两个领域中，复数的确是不可或缺的，一个是电路理论，而另一个是混沌的量子世界。
在直流电路中无须引入复数就可以描述势差、电流与电阻之间的关系，实数统治着直流电路的世界。但在交流电路中会出现电感和电容的影响，它们使事情变得异常复杂。
（在研究直流电路时无须使用复数。）
尽管我们仍可以将交流电路中的各项数值用实值方程进行关联，但这些方程将极为复杂。但是如果将电阻、电感和电容联系起来描述为一个称为阻抗的复值数值，事情将大为简化。而且这还可以导出一个联系电流、势差和阻抗的直观公式，它与直流电路中电流、势差和电阻的公式极为相似。
在量子物理学中，复数是绝对不可或缺的。想抛开复数来理解概率波的概念几乎是不可能完成的任务。原则上可以发展不使用复数描述概率波的理论框架，但物理学家和数学家会将其看作百无一用的异类。
阿根图
关于虚数有这么一个漂亮的描述：虚数跟现实垂直。如果将复数的实部和虚部看作平面上的坐标，它就解释得通了。
x轴对应于复数的实部，而y轴对应于复数的虚部。复数的模对应于复数在坐标轴中相应点距离原点（0，0）的距离，而复数的复角对应于x轴与过原点和复数点的直线之间的夹角。
下图以让-罗伯特·阿根（Jean-Robert Argand，1768—1822）命名，被称为阿根图，尽管实际上它是卡斯帕·维塞尔（Caspar Wessel，1745—1818）首先构造出来的。在复分析中阿根图常用于描述各种事物，其用途与解决几何问题时的草图相同。例如，曼德布洛特集中的点正是画于阿根图之上。
（阿根图是以形如z=x+iy的复数为点的图形。）
从几何的角度考虑复数有助于将其概念化，这对于擅长视觉思维的人更有利。两个复数的加减法在阿根图上就是将代表复数的线段首尾相连，然后观察组合后端点的位置。两个复数的乘法在阿根图上的描述有点复杂（将夹角相加后再将长度相乘），但也有助于理解复数乘法的本质。
对于常规图形的各种操作在阿根图上通常很奏效。直线和圆的方程以复数表示时十分雅致，而阿根图更是打开周线积分领域大门的金钥匙。
（有的阿根图异常错综复杂。）
本文原文来自搜狐