演绎推理的局限性：芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论”

演绎推理的局限性：芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论”

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演绎推理的局限性：芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论”

图1 芝诺Zeno of Elea, c.495 BCE~c.430 BCE

采用语言的抽象逻辑思维是有局限性的。约 2400年之前，就有“芝诺悖论 paradoxes of Zeno （约公元前495～前430）”，近 100年有“哥德尔不完备性定理 Gödel incompleteness theorem （1931）”、“Chaitin定理（1966）”。

芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论”

运动场悖论

从体育场的一端跑到另一端，需要跑完全程的一半，要跑完后半程，又需要先跑完它的一半。因此，总是需要跑完半程的一半，却永远不能跑到尽头。

阿基里斯追龟悖论

阿基里斯追龟悖论是说英雄阿基里斯比乌龟晚出发，即使他速度再快，也需要首先追赶到乌龟提前出发已经跑到的位置，而在他跑到这个位置的时候，乌龟又往前跑了一段到达第二个位置，当阿基里斯继续追赶到第二个位置时，乌龟又往前跑到第三个位置。如此类推，无论阿基里斯跑得多快，乌龟总是往前多跑了一段距离，所以阿基里斯永远也不可能追赶上乌龟。

芝诺悖论揭示语言面对现实的尴尬

其实，芝诺悖论揭示出的是语言面对现实的困境，人的语言更偏重于结果性而不是过程性。这种工具不合用的局面有些类似于拿着一把叉子面对着一碗汤，又有些类似于当年爱因斯坦发明广义相对论时苦于没有合适的数学语言（他幸运的是，有黎曼准备好了全新的几何系统）。

语言和思维的局限肯定还有，比如，由于我们生活在正向延续的时间中，相应发展出的语言只能够描绘这种时序。虽然今天科学理论上已经有了时光倒流的说法，但在语言中仍然难以叙述。也许你会问：不是可以倒叙嘛？举个例子，“我走进房间然后喝了一杯水。”这句话的倒叙是“喝了一杯水，之前，我走进房间。”是的，可以将连续的事件破成了两个时间段，然后颠倒，但问题是“走进”和“喝水”依然是在正向时序中述说。这都是因为人们从来没有倒时序的体验，所以语言以及创造它的思维逻辑都不适应。

演绎推理的一些特征

演绎推理 deductive inference 的一些特征必须指出的是，无效推理虽然不是完全无效的，但由于它的结论不具有必然性，因而与有效推理即必然性推理就有了本质的区别。以此为界限，现代逻辑将推理一分为二：必然性推理与或然性推理。必然性推理即演绎推理，或然性推理即归纳推理。因此，演绎推理的定义是：演绎推理就是前提与结论之间有必然性联系的推理。前提与结论之间有必然性联系即前提蕴含结论，因此，这一定义也可以等价地表述为：演绎推理就是前提与结论之间有蕴含关系的推理。演绎推理为什么会具有这种“保真性”？它为什么是一种“安全的”推理工具？一个现存的解释是，演绎推理的结论早已包含在前提之中了，实际上是已知的，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。

抽象思维的局限性

因此，不管你过去是多么地近乎本能的习惯于形象思维和抽象思维相互干扰的混合状态，你现在在一些相对重要得问题上必须强迫自己进行一个完整的抽象思维过程。这种要求在社会科学领域尤其迫切。通过第四讲的学习你将了解，抽象思维本身已不是尽善尽美的思维方法，它和现实的本来面目已存在距离，在社会科学领域比比皆是的逻辑混乱的做法，更让以抽象思维为基础的“社会科学”远离了科学范畴。研究客体的能动性和社会性导致的复杂加大了社会科学的抽象思维的困难，但社会科学的抽象思维的低水平主要还是因为人们忘了严密的抽象思维都有哪些要求。

物理和数学之间的关系

爱因斯坦运用数学工具虽然无比精湛，但他常常讲到要反对在物理学领域中滥用数学。他这样说：“物理学按其本质是一种具体的和直觉的科学。数学只为我们提供方法来表述现象所遵循的规律。”

“最主流”们的其它相关名言：

1. 牛顿：没有大胆猜测，就没有重大发现。
2. 高斯：我已经有了结果，但还不知道怎么得到它。
3. 庞加莱：没有假设，科学家将寸步难行。
4. 爱因斯坦：创新不是由逻辑思维带来的，尽管最后的产物有赖于一个符合逻辑的结构。
5. 爱因斯坦：真正有价值的是直觉。在探索的道路上智力无甚用处。
6. 爱因斯坦：想像力比知识更重要。因为知识是有限的，而想像力是无限，它包含了一切，推动着进步，是人类进化的源泉。
7. 开普勒：我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的导师，它了解自然界的全部秘密，在几何学中它最不应被忽视。
8. 拉普拉斯：甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。
9. 庞加莱：逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们哪条道路能引导我们到达目的地。为此必须从远处瞭望目标，教导我们瞭望的本领的是直觉。没有直觉，数学家就会像这样一个作家，他只会按语法写诗，但是却毫无思想。
10. 希尔伯特：数学知识终究要依赖于某种类型的直觉洞察力。
11. 当别人问高斯如何得到他定理，人类历史上数学家综合排行榜第二的高斯，毫不含糊地说：“…通过系统的、明显的实验。... through systematic, palpable experimentation. ... durch planmässiges Tattonieren.”

伟大数学家高斯在1830年给贝塞尔的信中写道：“我们必须谦虚地承认，虽然数字纯粹是我们头脑的产物，但空间在我们头脑之外有一个现实，因此我们不能完全先验地规定其性质。”