微分定义中高阶无穷小o(Δx)的详细解释
微分定义中高阶无穷小o(Δx)的详细解释
在微积分的学习中，微分定义中的高阶无穷小o(Δx)常常让人感到困惑。本文将从函数增量的表达式出发，详细解释o(Δx)的含义及其在微分和积分中的作用，帮助读者更好地理解这一重要概念。
在微分的定义中，使用了高阶无穷小o(Δx)的概念。这可能让人感到困惑，因为Δx是一个确定的量，而无穷小量是以零为极限的变量。然而，o(Δx)表示的是比Δx趋于零的速度更快的无穷小量，这暗示了Δx本身也是趋于零的。为了理解这一概念，首先需要理解微分的定义。
函数的增量Δy可以表示为两个量之和：Δy=AΔx+o(Δx)。这里，Δy、AΔx和o(Δx)都是确定的量，等式是通常意义上的等式。这种表达方式是“静态”的，将一个量表示为两个量之和的方法有很多种。这里的要求是将增量Δy表示为两个量之和，其中一个量应是自变量增量的一个倍数，另一个变量是当自变量增量Δx趋于零时，比Δx趋于零的速度更快。
为了确定或刻画这两个量的特征，使用了“动态”的形式。通常，一个量A可以表示为另外两个量B和C之和A=B+C。为了确定或刻画B和C的特征，可以加一些“动态”的条件，即如果B按某种方式变化，需要C按另一种方式变化。当然，前提是两个量B和C之间是“关联”的，不是独立的。
因此，将自变量增量倍数的量记为AΔx，将比自变量增量Δx趋于零的速度更快的量记为o(Δx)。如果Δx是确定的量，则o(Δx)=Δy-AΔx也是确定的量，只有当Δx→0时，才体现出符号o(Δx)的含义，它是比Δx趋于零的速度更快的无穷小量。
为了更好地理解微分的概念，需要了解微分和积分之间的关系。如果能将函数的增量Δy表示为上述特征的两个量之和，其中AΔx就称为对应于自变量增量Δx的微分，记为dy。
如果变量y是变量x的函数y=f(x)，由Δy=AΔx+o(Δx)得Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx。当Δx→0时，由高阶无穷小的定义可知o(Δx)/Δx→0，从而Δy/Δx→A，可知A是f(x)的1阶导数，A=f′(x)。
微分不单纯是为了近似计算，它有着更深刻的理论意义。由高阶无穷小量的定义可知，当Δx→0时，o=o(Δx)/Δx→0，故高阶无穷小量o(Δx)可表示为o(Δx)=oΔx，其中当Δx→0时，o→0。
将自变量变化范围[a,b]分为一些小区间a=x0<…