高数核心理论：微分中值定理与导数的应用详解

高数核心理论：微分中值定理与导数的应用详解

引用

CSDN

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https://blog.csdn.net/jsl123x/article/details/134330801

微分中值定理与导数的应用是高等数学中的核心内容之一，也是考研数学中的重点和难点。本章节将系统地介绍这一部分内容，包括罗尔定理、拉格朗日定理、泰勒公式等重要知识点，帮助读者全面掌握这一领域的理论和方法。

本章节包含多个知识点，一些列微分中值定理是考研证明题的重头戏，而洛必达和泰勒展开则是方法论的天花板难度，虽然对于小题的考察难度较低，整体上仍需重点复习。以下是考研大纲包含的具体内容：

1. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。
2. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
3. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
4. 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。当f"(x)＞0时，f(x)的图形是凹的；当f"(x)＜0时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
5. 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

接下来，我们将详细讲解这些知识点：

1. 费马引理

费马引理是在说，如果在某点处取到极值，则在该邻域内导数为0。

2. 罗尔定理

罗尔定理是在说，如果闭区间连续、开区间可导，且端点处函数值相等，则区间内必有一点处导数为0。

3. 拉格朗日定理

拉格朗日中值定理在说，闭区间连续、开区间可导，则函数图线上总有一点处的导数，与围成人的三角形斜率相同。

4. 柯西中值定理

柯西中值定理则是更一般化的情况，是将a/b两个区间端点也该为了函数，本质上就是参数方程化。

5. 洛必达法则

洛必达法则指的是，当一个分式的分子和父母均趋于无穷或0时，则他们比值的极限相当于上下各求一次导的极限。

6. 泰勒公式

泰勒公式指的是，原函数可以展成由导数复合而成的多项式，这在计算较为复杂函数的极限时效果拔群。

7. 麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特殊情况，同样在计算函数极限时非常有用。

8. 拉格朗日余项

拉格朗日余项是泰勒公式中的一个重要组成部分，用于表示展开式中的误差。

9. 单调性判定定理

对于函数的单调性，我们可以初步认为一阶导大于0单调增，否则单调减，所谓驻点指的是一阶导数为0的点。

10. 凹凸性判定定理

对于函数的凸凹性，我们认为二阶导数大于0是凹函数，否则为凸函数，拐点是指二阶导为0的点。

11. 极值判定定理

对于极值点和凹凸性变化的点，以及拐点和驻点的判别等，要熟悉区别。

12. 弧微分

弧微分是微分学中的一个重要概念，用于描述曲线的局部线性近似。

13. 曲率

曲率的定义是，角度变化量和弧长变化量的极限值。

• 微分的本质就是，x或y发生极小的变化
• 如果在一一点处，y的微分可以用x的微分*一个线性主部，并加上一个高阶无穷小，则称fx在该点处可微
• 要明确的是，可微与可导互为充要条件
• 可微的充分性是：微分之比的极限值是所谓的线性主部——换句话说，导数在邻域内部都存在
• 可微的必要性是：函数在该点必连续
• 微商的定义是两个微分的商，但是对于微商来说分子和分母是可分离的，这一点和导数不同
• 复合函数的微分，和复合求导法的方式一致
• 微分的几何意义，本质上就是变化量的近似值，利用这一点可以计算很多函数的近似值
• 费马引理是在说，如果在某点处取到极值，则在该邻域内导数为0
• 罗尔定理是在说，如果闭区间连续、开区间可导，且端点处函数值相等，则区间内必有一点处导数为0
• 拉格朗日中值定理在说，闭区间连续、开区间可导，则函数图线上总有一点处的导数，与围成人的三角形斜率相同
• 而柯西中值定理，则是更一般化的情况，是将a/b两个区间端点也该为了函数，本质上就是参数方程化
• 洛必达法则指的是，当一个分式的分子和父母均趋于无穷或0时，则他们比值的极限相当于上下各求一次导的极限
• 泰勒公式指的是，原函数可以展成由导数复合而成的多项式，这在计算较为复杂函数的极限时效果拔群
• 对于函数的单调性，我们可以初步认为一阶导大于0单调增，否则单调减，所谓驻点指的是一阶导数为0的点
• 对于函数的凸凹性，我们认为二阶导数大于0是凹函数，否则为凸函数，拐点是指二阶导为0的点
• 对于极值点和凹凸性变化的点，以及拐点和驻点的判别等，要熟悉区别
• 有关单调区间、驻点拐点等的判断比较简单，这里不再赘述
• 曲率的定义是，角度变化量和弧长变化量的极限值