模型预测控制在电力电子和电机控制领域的应用
模型预测控制在电力电子和电机控制领域的应用
模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是一种先进的控制策略，在电力电子和电机控制领域展现出独特的优势。本文将详细介绍MPC在该领域的应用背景、价值函数的设计方法以及永磁同步电机（PMSM）的离散时间预测模型，帮助读者深入了解这一前沿技术。
一、模型预测控制
模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）在电力电子和电机控制领域受到了广泛关注并广泛应用的原因主要在于以下几个方面：
动态性能优越：MPC能够预测系统的未来状态，并根据这些预测动态地优化控制输入，这使得它在处理非线性、时变、多变量和多约束条件的系统时表现出色，尤其是在电力电子和电机控制领域，这些系统往往具有复杂的动态行为和严格的控制要求。
多约束处理能力：电力电子和电机系统经常面临电压、电流、功率等多方面的约束条件，MPC可以直接将这些约束融入优化问题中，确保控制策略在满足性能要求的同时遵守物理限制。
在线优化能力：MPC可以实时地根据当前状态和未来预测进行优化，能够快速适应系统参数变化和外部扰动，这对于需要快速响应和精确控制的电力电子装置和电机驱动系统来说尤为重要。
集成化设计：在现代电力电子和电机系统中，MPC能够在一个统一的框架内综合考虑多种控制目标，如效率优化、电流谐波抑制、温度控制等，有利于实现系统的整体优化设计。
预测性控制：MPC能够预测并提前处理未来的系统行为，这对于诸如电池管理系统、光伏逆变器、永磁同步电机等应用，有助于提高系统的稳定性、效率和使用寿命。
工程实现简化：随着计算能力的提升，MPC的计算复杂性不再是制约其应用的主要障碍。现代计算机和嵌入式处理器能够实时执行MPC算法，使得其在实际工程中的应用变得更加可行。
综上所述，模型预测控制凭借其独特的优势，在解决电力电子和电机控制领域中面临的复杂控制问题时展现了巨大潜力，从而引发了研究热潮，并在实际应用中取得了显著效果，因而掀起了这场“大风”。随着技术的不断发展和成熟，MPC有望在未来继续推动电力电子和电机控制技术的进一步革新。
二、价值函数
模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）通过对未来一段时间内的系统行为进行滚动优化来确定当前的最佳控制动作。而价值函数（objective function）的设计是MPC的核心。在电力电子和电机控制领域，目前已有模型预测电流控制、模型预测转矩控制、模型预测转速控制、模型预测磁链控制、模型预测功率控制等控制策略，而价值函数的设计可以作为上述控制策略首要区别点。
以下是上述各模型预测控制策略的价值函数数学表达式的概要描述，但要注意的是，实际应用中价值函数会根据具体系统的动态特性、约束条件以及控制目标进行定制，以下提供基本框架：
- 模型预测电流控制（MPC-Current Control）
价值函数通常聚焦于最小化电流跟踪误差，同时考虑电流限值和其他约束条件：
[
J_{current}(u_k) = \sum_{k=0}^{N_p-1} (\hat{i}(k+1) - i_{ref}(k+1))^2 + R(u_k)
]
[其中，\hat{i} 是预测电流，i_{ref} 是电流参考值，N_p 是预测窗口长度，u_k 是控制变量（例如逆变器的开关状态或电压指令），R(u_k) 是反映控制输入约束的成本项。]
- 模型预测转矩控制（MPC-Torque Control）
价值函数主要关注转矩跟踪误差和系统的稳定性和动态性能：
[
J_{torque}(u_k) = \sum_{k=0}^{N_p-1} (\hat{\tau}(k+1) - \tau_{ref}(k+1))^2 + Q(\Delta u_k) + V(u_k)
]
[其中，\hat{\tau} 是预测转矩，\tau_{ref} 是转矩参考值，Q(\Delta u_k) 是控制输入的变化量惩罚项，鼓励平滑控制，V(u_k) 包括了约束条件的惩罚。]
- 模型预测转速控制（MPC-Speed Control）
价值函数通常包括转速误差和可能的转矩波动惩罚：
[
J_{speed}(u_k) = \sum_{k=0}^{N_p-1} (\hat{\omega}(k+1) - \omega_{ref}(k+1))^2 + W(\hat{\tau}(k+1) - \bar{\tau}) + U(u_k)
]
[其中，\hat{\omega} 是预测转速，\omega_{ref} 是转速参考值，\bar{\tau} 是期望的平均转矩水平，W(\cdot) 是转矩波动的惩罚项，U(u_k) 是约束条件的惩罚。]
- 模型预测磁链控制（MPC-Flux Control）
磁链控制的价值函数围绕着磁链误差及其变化率展开：
[
J_{flux}(u_k) = \sum_{k=0}^{N_p-1} (\hat{\lambda}(k+1) - \lambda_{ref}(k+1))^2 + (\Delta \hat{\lambda}(k+1))^2 + P(u_k)
]
[其中，\hat{\lambda} 是预测磁链，\lambda_{ref} 是磁链参考值，P(u_k) 包含了对控制输入和状态变量的约束惩罚。]
- 模型预测功率控制（MPC-Power Control）
功率控制的价值函数可能包含实际功率与期望功率的偏差以及能耗优化：
[
J_{power}(u_k) = \sum_{k=0}^{N_p-1} ((\hat{P}{out}(k+1) - P{ref}(k+1))^2 + E(u_k))
]
[其中，\hat{P}{out} 是预测输出功率，P{ref} 是功率参考值，E(u_k) 是能源效率或能耗成本项。]
在这些价值函数中，除了目标误差项外，还包括了对控制输入变化率、平滑性以及各种约束条件的惩罚项，这些惩罚项可以根据实际情况采用不同的形式和权重系数。实际应用中，MPC算法会在满足系统动态特性和约束条件的前提下，通过优化价值函数求解最优控制序列，仅执行第一个步长的控制动作，然后更新状态预测并重复此过程。
在模型预测控制（MPC）中，价值函数（或成本函数）可以包含多种控制变量和目标，不仅仅局限于电机本身的动态变量。对于电机控制和电力电子拓扑的控制，价值函数可以涵盖诸如开关频率、噪声、能量损耗等因素，以优化整体系统性能。以下是一个简化的价值函数模板，其中包含了一些典型的目标项：
[ V(x, u) = w_1 \cdot E_{loss} + w_2 \cdot F_{switching} + w_3 \cdot N_{noise} + w_4 \cdot Q_{tracking} + w_5 \cdot D_{constraints} ]
其中，
- (E_{loss}) 是预测期内的总能量损耗，可以通过计算每个时间段内的功率损耗来估算。
- (F_{switching}) 表示开关频率的相关成本，它可以是平均开关频率或开关次数的累加，旨在降低开关损耗和电磁干扰。
- (N_{noise}) 是电机运行过程中的噪声水平，可以通过对电流纹波、电压波动等指标的量化来衡量。
- (Q_{tracking}) 是对参考轨迹的跟踪性能，比如转矩、速度或其他控制目标的误差平方和。
- (D_{constraints}) 是对控制输入和状态变量的约束惩罚项，当控制动作违反物理限制或设计边界时，这部分成本会增加。
权重因子(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5)用于权衡不同目标的重要性，它们需要根据具体工程实践和设计要求来调整。
具体的价值函数公式可能更为复杂，包括多项式、指数函数或者其他形式的组合，以适应不同场景的需求。在实际应用中，价值函数会根据电机类型、驱动拓扑、控制目标及约束条件等诸多因素定制化设计。例如：
[ V(u_t, ..., u_{t+N}) = \sum_{k=t}^{t+N} (\gamma_1 (E_k - E_{ref})^2 + \gamma_2 f_k^p + \gamma_3 (N_k - N_{limit})^2 + ...) ]
其中，(u_t) 表示从当前时刻 (t) 到预测期结束时刻 (t+N) 的一系列控制动作集合，(E_k) 是第 (k) 时刻的能量损耗，(f_k) 是第 (k) 时刻的开关频率，(N_k) 是第 (k) 时刻的噪声水平，(E_{ref}) 是期望的能量损耗水平，(N_{limit}) 是允许的最大噪声水平，(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, ...\gamma_p) 是对应目标项的权重系数。
三、预测模型
基于电机的电压方程和电机的运动方程，我们可以构建永磁同步电机（PMSM）的离散时间预测模型。采用一阶向前欧拉法进行离散化（其他离散化方法亦可），考虑的方程为：
连续时间模型回顾
d轴电压方程:
[ v_d = R_s i_d + L_d \frac{di_d}{dt} - \omega L_q i_q ]
q轴电压方程:
[ v_q = R_s i_q + L_q \frac{di_q}{dt} + \omega L_d i_d + \psi_f \omega ]
运动方程（考虑负载转矩和忽略摩擦等简单情况）:
[ \frac{d\omega}{dt} = \frac{1}{J}(T_e - T_L) ]
离散预测模型构造
假设采样周期为(T_s)，一阶向前欧拉法应用于上述方程，得到：
d轴电流的离散方程:
[ i_d[k+1] = i_d[k] + T_s \left( \frac{v_d[k] - R_s i_d[k] + \omega[k] L_q i_q[k]}{L_d} \right) ]
q轴电流的离散方程:
[ i_q[k+1] = i_q[k] + T_s \left( \frac{v_q[k] - R_s i_q[k] - \omega[k] L_d i_d[k] + \psi_f \omega[k]}{L_q} \right) ]
电角速度的离散方程:
首先，根据电磁转矩方程计算出(T_e)：
[ T_e[k] = 1.5 \times P_n \left( \psi_f i_q[k] + (L_d - L_q) i_d[k] i_q[k] \right) ]
然后，代入运动方程进行离散化：
[ \omega_e[k+1] = \omega_e[k] + T_s \left( \frac{T_e[k] - T_L}{J} \right) ]
请注意，离散化过程中，电磁转矩(T_e)的计算基于当前采样时刻的电流值(i_d[k])和(i_q[k])，并且在实际应用中，通常需要考虑电机的非线性因素、控制器的设计以及系统稳定性的评估。此外，对于更精确的模型，可以采用更高阶的数值积分方法，如龙格-库塔法等。