一元二次方程的解法（直接开平方法）

一元二次方程的解法（直接开平方法）

21.2 解一元二次方程——直接开平方法复习

1. 什么是平方根？如何表示一个数的平方根？
2. 根据平方根的概念解方程 x² - 4 = 0
   若 x² = a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 ±√a。如何解一元二次方程呢？能否将二次方程降次变为一次方程，从而求解一元一次方程呢？

例1：解方程 x² - 4 = 0

先移项，得：x² = 4
一个数（x）的平方根等于4，这个数（x）叫做4的什么？这个数（x）叫做4的平方根（或二次方根）。
一个正数有几个平方根？一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
求一个数的平方根的运算叫做什么？求一个数的平方根的运算叫做开平方。
以上解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

初试锋芒

用直接开平方法解下列方程：

1. y² - 121 = 0
2. x² - 2 = 0
3. 16x² - 25 = 0

将方程化成 x² = p（p ≥ 0）的形式，再求解。

再显身手

解方程 (2x - 1)² = 2

显然，方程中的 (2x - 1) 是 2 的平方根。

解：

练习：解下列方程：

1. (x + 1)² = 2
2. (x - 1)² - 4 = 0
3. 12(3 - 2x)² - 3 = 0
4. (x - 5)² + 36 = 0

例3：解方程 (2x - 1)² = (x - 2)²

即 x₁ = -1，x₂ = 1

分析：如果把 2x - 1 看成是 (x - 2)² 的平方根，一样可以用直接开平方法求解

解：2x - 1 = ±√(x - 2)²
即 2x - 1 = ±(x - 2)
∴ 2x - 1 = x - 2 或 2x - 1 = -x + 2

练习：解方程 (3x - 4)² = (4x - 3)²

首先将一元二次方程化为左边是具有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解

讨论：

1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
   如果一个一元二次方程具有 x² = p 或 (mx + n)² = p（p ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

3. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？

下列方程能用直接开方法吗？

1. x² - 6x + 9 = 7
2. 4x² + 4x + 1 = 4

2、解下列方程：

1. (x - 1)² = 4
2. 3(x + 2)² = 3
3. 5(x - 4)² - 25 = 0
4. (2x - 1)² = (3 - x)²

练一练

1. 解下列方程：

2. x² = 16

3. x² - 0.81 = 0

4. 9x² = 4

5. 用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：

x² = p 或 (mx + n)² = p（p ≥ 0）

3. 根据平方根的定义，要特别注意：因为负数没有平方根