有刷直流力矩电机的建模、仿真、控制带宽讨论与选择方法
有刷直流力矩电机的建模、仿真、控制带宽讨论与选择方法
有刷直流力矩电机的建模
图1：有刷直流力矩电机的等效控制框图
图1展示了有刷直流力矩电机的等效控制框图，其中：
- (e_i(t)) 为电机输入电压
- (L_a) 为电枢电感
- (R_a) 为电枢电阻
- (e_m(t)) 为电机工作时产生的反电动势
- (i_a(t)) 为回路电流
- (T(t)) 为电机输出转矩
- (\theta_0(t)) 为电机输出转角
- (J_e) 为系统及负载在电机轴的等效转动惯量
- (M_c(t)) 为作用在电机轴上的总负载转矩（包括空载转矩、负载转矩和摩擦力矩）
根据基尔霍夫定律和电磁感应定律，可以得到以下方程组：
[
\begin{align}
e_i(t) &= R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt} + e_m(t) \
e_m(t) &= K_e \frac{d\theta_0(t)}{dt}
\end{align}
]
其中，(K_e) 是电机反电动势系数。
根据力矩平衡方程和洛伦兹电磁定律，可以得到：
[
\begin{align}
T(t) - M_c(t) &= J_e \frac{d^2\theta_0(t)}{dt^2} \
T(t) &= K_t i_a(t) \
M_c(t) &= T_0 + T_L + D_m \frac{d\theta_0(t)}{dt}
\end{align}
]
其中：
- (K_t) 是电动机力矩系数
- (T_0) 是空载转矩
- (T_L) 是负载转矩
- (D_m) 是系统在电机轴上的等效粘滞阻尼系数
- (D_m \frac{d\theta_0(t)}{dt}) 表示摩擦力矩
联立上述方程并进行拉普拉斯变换，可以得到：
[
\Theta_0(s) = \frac{K_t E_i(s) - (L_a s + R_a) M_c(s)}{L_a J_e s^3 + R_a J_e s^2 + K_t K_e s}
]
由式(6)可得电机系统模型框图如图2所示，由式(6)不难看出，电机输出角度取决于(E_i(s))与(M_c(s))两部分系统输入，2个输入变量与输出分别构成单输入-单输出系统，且2个系统均为典型的二阶振荡系统。
基于线性系统的叠加性原理，将(M_c(s))视为系统的扰动，可得电机输入电压到电机输出转角的传递函数为：
[
\frac{\Theta(s)}{E_i(s)} = \frac{K_t}{L_a J_e s^3 + R_a J_e s^2 + K_t K_e s}
]
电机总负载转矩到电机输出转角的传递函数为：
[
\frac{\Theta_d(s)}{M_c(s)} = \frac{-(L_a s + R_a)}{L_a J_e s^3 + R_a J_e s^2 + K_t K_e s}
]
其中，(\Theta_d(s))表示由电机负载所产生的扰动角度。
定义两个时间常数：
[
T_e = \frac{L_a}{R_a} \quad \text{--- 电枢电路电磁时间常数}
]
[
T_m = \frac{J_e R_a}{K_t K_e} \quad \text{--- 电机机电时间常数}
]
将公式(9)(10)带入(7)，可进一步化简为：
[
\frac{\Theta(s)}{E_i(s)} = \frac{1/K_e}{s(T_m T_e s^2 + T_m s + 1)}
]
由于(T_m \gg T_e)，而且(T_e)很小可忽略，因此常会有一个近似，就是给公式(11)的分母添加一项(T_e s)，即：
[
\frac{\Theta(s)}{E_i(s)} \approx \frac{1/K_e}{s(T_m T_e s^2 + T_m s + T_e s + 1)} = \frac{1/K_e}{s(T_m s + 1)(T_e s + 1)}
]
本文的推导参考：
- 书《惯性器件及应用实验技术》（作者：郭立东等人）的第3.1.2小节；
- 书《光电成像系统》（作者：张秉华）的第4.3.2小节；
- 论文《采用力矩电机直驱的数控机床进给系统伺服刚度优化》的第1.1小节。
根据公式(9)(10)(12)可知，要对一个力矩电机系统建模需要知道以下参数：
- (K_e) 电机反电动势系数 = (U_f / n_0)（峰值堵转电压 / 最大空载转速）
- (K_t) 电动机力矩系数 = (M_n / I_n)（连续堵转转矩 / 连续堵转电流）
- (L_a) 电枢电感
- (R_a) 电枢电阻
- (J_e) 为系统及负载在电机轴的等效转动惯量（一般可用(1/2 m r^2)近似）
有刷直流力矩电机的仿真
以河北宇捷电机科技有限公司的NH186LYX-M53-E48电机拖动质量为120kg，半径为0.35m的负载为例进行Matlab建模分析，由于电机厂家的资料中并未提供电枢电阻和电枢电感，因此直接联系厂家查询后得电机的电枢电阻和电枢电感分别为：3.1Ω和7.8mH。
Matlab代码如下：
clear all; close all; clc;
%--------------------------------
Uf = 48; %峰值堵转电压
n0 = 115; % r/min最大空载转速
n0 = n0 * 6; % deg/s
n0 = n0 /57.3; % rad/s
Ke = Uf / n0; % 电机反电动势系数
%--------------------------------
%--------------------------------
Mn =29.5; % 连续堵转转矩
In = 8; % 连续堵转电流
Kt = Mn / In; % 电动机力矩系数
%--------------------------------
%--------------------------------
La = 7.8*10^(-3);% 电枢电感 H
Ra = 3.1; % 电枢电阻 Ohms
Te = La / Ra; % 电动机力矩系数
%--------------------------------
%--------------------------------
m = 120; % kg负载重量
r = 0.35; % m 负载半径
Je = 0.5 * m * r^2; % 负载转动惯量
%--------------------------------
%--------------------------------
Tm = Je * Ra / (Kt * Ke);
%--------------------------------
s = tf('s');
k = 1/Ke;
G = 1 / s / (Tm*s+1) / (Te*s + 1);
% 被控对象
figure(1);
p = bodeoptions;
p.FreqUnits = 'Hz';
bode(G,p);grid on; hold on;
% C = 1;
% Phi = C*G/(1+C*G);
% bode(Phi,p);grid on; hold on;
% legend('被控对象','闭环传函');
有刷直流力矩电机的控制带宽的讨论
第2小节的仿真我们可以看到，系统的开环穿越频率在0.1Hz左右，根据控制理论的经验，如果不设计控制器 ，那么闭环后的带宽也就是0.1Hz左右。 但如果我设计了控制器，比如就是一个C = 100的P控制器，那么系统添加控制器后的开环穿越频率将达到1.2Hz（如下图所示）。 那么闭环后带宽也将达到1.2Hz左右。 那么是不是说，我控制器增益可以无限去提升，我的带宽也可以无限去提升呢？答案肯定是否定的。 因为系统的输入电压是受到约束的，比如控制器的输出是100V的电压，但是电机允许的最大输入电压也才40V。 这样的约束可视为增益下降。 也就是说我们的控制器增益并不是可以无限提升的。 当我给控制器的输入是小幅值的时候，理论上带宽是可以比较高的，比如幅值最大是0.4V的输入，我可以放到100倍到40V。但是，当我给的控制器的输入是大幅值的时候，比如幅值最大是10V，带宽就做不到多高了，我控制器增益最大能到4倍。
有刷直流力矩电机的驱动方式
如上图所示，如果需要控制速度、扭矩和方向，则采用由电子开关（晶体管、IGBT或MOSFET）组成的“H桥”来驱动电机向任一方向旋转。施加到电机上的电压可以是任一极性，它使电机沿不同方向旋转。而通过调制开关脉冲的宽度（PWM）可以控制电机的速度或扭矩。
参考文献：有刷直流电机驱动方式
有刷直流力矩电机的选择
电机的选择主要依赖的是输出力矩平衡方程，如式(13)所示：
[
T = M_0 + M_L + M_f + M_d + J \cdot a
]
其中(M_0)指空载力矩，(M_L)指负载力矩，(M_f)指摩擦力矩，(M_d)指风阻力矩，(J \cdot a)指惯性力矩，(J)指转动惯量，(a)指角加速度（rad/s)，不考虑空载力矩、负载力矩、风阻力矩 ，(T \approx M_f + J \cdot a)
假设对系统的要求2s内调转180°，不限制系统角速度。即系统会经历一个最大加速度加速度过程与最大减速度减速过程，没有最大角速度匀速的过程。 假设最大加速度和减速度相等，有。
[
2 \times \frac{1}{2} \times a \times 1^2 = 180 \Rightarrow a = 180^o/s^2
]
考虑留有足够的裕量，乘以1.5倍，(a' = a \times 1.5 = 270^o/s^2 = 4.71 \text{rad}/s^2)。
假设电机要拖动负载是质量为120kg，半径为0.35m圆柱体。则
[
J = 0.5 \cdot m \cdot r^2 = 0.5 \cdot 120 \cdot 0.35^2 = 7.35 \text{kg} \cdot \text{m}^2
]
而之前已经给出了系统最大的角加速度为4.71 (\text{rad}/s^2)，那么系统的最大惯性力矩为(J \cdot a = 7.35 \cdot 4.71 = 34.6185 \text{N} \cdot \text{m})
摩擦力矩一般难以计算，根据经验假设摩擦力矩系数为0.01来算。 轴承的内径和外径分别为160和220，轴承法向角度为25°。
[
M_f = 0.01 \cdot 1200/\sin 25° \cdot (160+220) / 4 / 1000 = 2.697525 \text{N} \cdot \text{m}
]
考虑摩擦力矩估计偏差，在选择电机时，摩擦力矩按两倍算即(M_f = 5.4 \text{N} \cdot \text{m})
那么电机总的输出力矩力矩为(34.6185 + 5.4 = 40 \text{N} \cdot \text{m})
根据经验，选择电机时，应再考虑留一个1.3倍的裕量。即电机输出力矩应为(40 \cdot 1.3 = 52 \text{N} \cdot \text{m})，上述计算的这个力矩则是选择电机时的峰值堵转力矩。 关于电机其余参数的选择，则是在满足电学和结构要求的前提下，尽量选择连续堵转力矩大，连续堵转电压大，连续堵转电流大的电机。
选择电机原则：首先满足输出力矩要求，其次在此基础上，选择连续堵转力矩更大，连续堵转电压更大，连续堵转电流更大的电机（这样呢，控制带宽可以做高点）。