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线性代数:向量点乘的意义与应用

创作时间:
作者:
@小白创作中心

线性代数:向量点乘的意义与应用

引用
CSDN
1.
https://blog.csdn.net/Nh_code/article/details/143966516

向量点乘,又称向量内积,是线性代数中的一个基础且重要的概念。它不仅解决了不同方向向量间的运算问题,还在计算向量夹角、衡量向量相似度等方面有着广泛的应用。本文将从向量点乘的基本定义出发,深入探讨其在不同方向向量间的投影意义,并通过二维空间中的数学公式进行说明。同时,文章还将介绍向量点乘在推荐系统等领域的具体应用。

向量点乘的意义

向量的点乘(内积)解决了不同方向向量间存在的方向问题。由于不同方向的向量直接进行乘法运算是没有意义的,因此通过投影的方式,让向量指向同一方向,使得向量相乘有了实际意义。向量点乘的结果是一个标量,其在二维空间中的数学表达式为:

$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot (|\vec{v}| \cdot \cos\theta)
$$

其中,$|\vec{u}|$和$|\vec{v}|$分别表示向量$\vec{u}$和$\vec{v}$的模,$\theta$是两个向量之间的夹角。

向量点乘在分类上的反映

向量点乘的结果反映在分量上是向量间同属性分量的乘积之和。例如,在二维空间中,两个向量$\vec{u}$和$\vec{v}$的点乘可以表示为:

$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
$$

其中,$x_1 \cdot x_2$和$y_1 \cdot y_2$分别是两个向量在参考坐标系的基向量上的投影的乘积。当基向量互相垂直时,不同属性分量(如$x_1 \cdot y_2$)的乘积是无意义的,因为它们之间的夹角$\theta = 90^\circ$,所以不同属性分量的乘积为0。

向量点乘的应用

向量点乘的主要应用之一是计算两个向量之间的夹角$\theta$,其计算公式为:

$$
\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
$$

通过计算向量夹角,可以衡量两个向量的相似程度,这在余弦相似度的应用中尤为重要。具体来说:

  • 当$\theta < 90^\circ$时,两个向量相似;
  • 当$\theta = 90^\circ$时,两个向量无关;
  • 当$\theta > 90^\circ$时,两个向量背离。

这一特性在推荐系统中有着广泛的应用,例如在商品、电影、音乐的推荐场景中,通过计算用户偏好向量与项目特征向量之间的夹角,可以实现个性化推荐。

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