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导数和微分

创作时间:

作者:

@小白创作中心

导数和微分

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/139566437

本文主要介绍了导数和微分的概念、区别以及在PyTorch中的应用。文章内容较为专业，主要面向数学和机器学习领域的读者。

导数和微分

导数是描述函数变化率的量，它表示函数在某点的瞬时变化速度和切线斜率。微分是导数的一个线性近似，表示函数在某点处随着自变量变化的增量。导数和微分在本质上都是研究函数变化的工具，但导数更侧重于变化率，而微分更侧重于线性近似和变化量。

导数和微分是微积分中的两个重要概念，它们虽然紧密相关，但有不同的含义和应用。以下是它们的区别：

导数（Derivative）

定义：

导数是描述函数变化率的一个量。具体来说，函数f(x)在某点x=a处的导数，表示当x在a附近变化时，函数f(x)的变化速度。
数学上，导数定义为：
f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h

几何意义：

导数在几何上表示曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线的斜率。

表示方法：

常见的表示法有f′(x)、dfdx、Df(x)等。

应用：

导数用于研究函数的单调性、极值、凹凸性等性质，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分（Differential）

定义：

微分是导数的一个线性近似。它描述了函数f(x)在某点x=a处的增量与自变量x的增量之间的线性关系。
如果f在a处可导，且导数为f′(a)，那么函数在a处的微分df可以表示为：
df=f′(a)⋅dx
其中dx是自变量x的一个增量。

几何意义：

微分表示的是切线的变化量，它是导数的一个线性近似，适用于小范围内的函数变化。

表示方法：

微分常表示为dy或df，其中dy=f′(x)⋅dx。

导数描述函数变化率

例子：位置函数和速度

假设有一辆车在直线上行驶，其位置s（单位：米）随时间t（单位：秒）的变化用函数s(t)=t2表示。这意味着在时间t秒时，车的位置是s(t)米。我们想要了解这辆车在某一时刻的速度。速度就是位置随时间变化的速率，也就是位置函数的导数。

计算导数：

首先，计算位置函数s(t)的导数s′(t)：
s′(t)=dtd(t2)=2t
这个导数s′(t)就是车在时间t秒时的瞬时速度。

解释变化率：

导数s′(t)描述了车的位置s(t)随时间t变化的速率。例如，在t=3秒时，导数s′(3)=2×3=6米/秒。这意味着在第3秒时，车的速度是每秒6米。
更具体地说，导数s′(t)告诉我们，当时间t变化一个非常小的量Δt时，位置s(t)将变化约s′(t)⋅Δt。

具体的变化率例子

假设我们想知道在t=3秒时，车的位置是如何随时间变化的。我们可以计算导数在这个点的值并解释它的含义。

在t=3秒时，车的位置是：
s(3)=32=9米
在t=3秒时，车的瞬时速度是：
s′(3)=2×3=6米/秒
如果时间从3秒增加到3.1秒，即Δt=0.1秒，我们可以使用导数来近似计算这段时间内车位置的变化量：
近似变化量Δs：
Δs≈s′(3)⋅Δt=6米/秒×0.1秒=0.6米
实际位置的变化量：
计算实际位置在3.1秒时的位置：
s(3.1)=(3.1)2=9.61米
实际位置的变化量：
Δs=s(3.1)−s(3)=9.61−9=0.61米
通过这个例子，我们可以看到，导数s′(t)提供了车在某一时刻的位置变化率，近似地描述了车位置随时间变化的情况。这就是导数描述函数变化率的一个具体实例。

微分作为导数的线性近似

例子：函数f(x)=x2

假设我们有一个函数f(x)=x2，我们想要研究这个函数在某个点x=2处的导数和微分。

计算导数：

首先，计算f(x)的导数f′(x)：
f′(x)=dxd(x2)=2x
在x=2处的导数f′(2)为：
f′(2)=2×2=4

微分的线性近似：

在x=2处，函数f(x)的微分df表示为：
df=f′(2)⋅dx=4⋅dx
这里，dx是自变量x的一个小增量。

具体例子：估算函数值的变化：

现在假设x从2增加到2.1，即dx=0.1。
通过微分来近似计算f(x)的变化量df：
df=4⋅0.1=0.4
这意味着，当x从2增加到2.1时，函数值f(x)的变化量大约为0.4。
现在我们来计算精确的变化量，即f(2.1)−f(2)：
f(2.1)=(2.1)2=4.41
f(2)=22=4
f(2.1)−f(2)=4.41−4=0.41
由此可见，通过微分得到的近似值0.4与精确变化量0.41非常接近。

在这个例子中，导数f′(2)=4表示函数f(x)=x2在x=2处的瞬时变化率。而微分df=4⋅dx提供了一个线性近似，用于估算当x发生小变化时，函数值f(x)的变化量。这种线性近似在dx很小时非常有效，可以用于快速估算和简化计算。

PyTorch 中的求导（autograd）功能

基本用法

计算标量函数的导数
假设我们有一个标量函数f(x)=x2，我们希望计算它的导数。

import torch
# 创建一个张量并启用梯度计算
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
# 定义函数
y = x**2
# 计算导数
y.backward()
# 打印导数
print(x.grad)  # 输出: tensor(4.0)

在这个例子中：

我们创建了一个标量张量 x 并启用了梯度计算（requires_grad=True）。
定义了一个函数y = x2。
使用 y.backward() 计算导数，这会计算dydx并将其结果存储在 x.grad 中。

计算向量函数的导数
对于向量函数，我们可以计算每个分量对输入的梯度。

import torch
# 创建一个张量并启用梯度计算
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)
# 定义函数
y = x**2
# 计算导数，y 是一个向量，因此需要提供梯度的初始值
y.backward(torch.tensor([1.0, 1.0, 1.0]))
# 打印导数
print(x.grad)  # 输出: tensor([2.0, 4.0, 6.0])

在这个例子中：