点到直线的距离公式是什么 怎么推导的

点到直线的距离公式是什么 怎么推导的

引用

高三网

1.

http://m.gaosan.com/gaokao/825033.html

点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离。直线Ax+By+C=0坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：d=│AXo＋BYo＋C│/√（A²＋B²）。

点到直线的距离公式整理

点到直线的距离公式：
设直线方程为 Ax+By+C=0，则点(x1,y1)到直线的距离为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2+ B^2)

点到平面的距离公式：
设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0，则点(x1,y1,z1)到平面的距离为：d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

3. 点到直线的垂足公式：
   设直线方程为 Ax+By+C=0，点为P(x1,y1)，则垂足点Q的坐标为：(x2,y2) = (x1 - A * t, y1 - B * t)，其中t = (Ax1 + By1 + C) / (A^2 + B^2)

点到直线的距离公式如何推导的

点到直线的距离公式如下：
设直线方程为 (Ax + By + C = 0)，则点 ((x_1, y_1)) 到直线的距离 (d) 可以用以下公式计算：
[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ]

这个公式非常关键，它将点到直线的距离转化为直线方程中的参数和点的坐标之间的关系。

公式推导

为了推导这个公式，我们可以从几何和代数的角度来分析：

1. 几何角度：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。因此，点到直线的距离就是从点到直线上垂足的距离。

2. 代数角度：设直线方程为 (Ax + By + C = 0)，点 ((x_1, y_1)) 到直线上的垂足为 ((x_2, y_2))。根据直线方程，垂足点也必须满足直线方程，即 (Ax_2 + By_2 + C = 0)。

3. 构建垂线：由于垂足点是垂线与直线的交点，因此，垂线的斜率与直线的斜率是负倒数关系。设直线的斜率为 (-\frac{A}{B})，则垂线的斜率为 (\frac{B}{A})。

4. 计算垂足坐标：利用点斜式方程，我们可以找到垂足点 ((x_2, y_2)) 的坐标。由于垂线通过点 ((x_1, y_1))，我们可以写出垂线的方程，然后解出垂足坐标。

5. 求距离：最后，利用两点间的距离公式来计算点 ((x_1, y_1)) 到垂足 ((x_2, y_2)) 的距离，这个距离即为点到直线的距离。