电磁场与麦克斯韦方程组

电磁场与麦克斯韦方程组

电磁场与麦克斯韦方程组

大家知道，静电场和稳恒磁场是各自独立、互不相关的.但是，激发静电场和稳恒磁场的源——电荷和电流却是相互关联的，这就可以联想到电场和磁场之间也一定存在着相互联系、相互制约的关系.既然电流能够激发磁场，那么能不能利用磁场来产生电流呢?为此历史上曾进行了许多实验研究，终于发现了电磁感应现象，即当穿过闭合导体回路中的磁通量发生变化时，回路中就出现了电流.这一重大发现不仅阐明了变化磁场能够激发电流这一关系，还进一步揭示了电与磁的内在联系，促进了电磁理论的发展，在科学和技术上产生了极其重要的影响.根据电磁感应原理，人们设计并制成了发电机、感应电动机和变压器等电力设备，为现代化大规模生产、传输和使用电能开辟了道路，成为第二次工业革命的开端，使人类迈向了电气化时代.1865年，麦克斯韦又在前人研究的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的假设，进一步阐述了变化着的电场和磁场可以互相激发产生，并提出了电场和磁场是一个统一的整体——电磁场的理论.麦克斯韦根据电磁场理论还预言了电磁波的存在，并计算出电磁波的传播速度等于光速.他的这一预言不仅被赫兹的实验所证实，而且得到了广泛的应用.本章将首先讨论电磁感应的基本定律，然后讨论感应电动势产生的机理、磁场能量等问题.并在静电场、稳恒磁场和电磁感应研究的基础上，介绍统一的电磁场概念和麦克斯韦方程组.

电磁感应实验现象

一、1820年，奥斯特发现了电流的磁效应，从一个侧面揭示了长期以来一直被认为彼此独立的电现象与磁现象之间的联系.既然电流可以激发磁场，人们自然想到，磁场是否也能产生电流?于是，许多科学家开始对这个问题进行探索和研究.法拉第年轻时，一直坚信自然界的一切力都应当是相互联系的，并且能相互转化.在得知稳恒电流能激发稳恒磁场的消息后，他制定了稳恒磁场也应该能够产生电流的研究思路，依据这个思路他做了大量的实验，但所有实验均失败了.电流的周围存在磁场，而磁铁的周围却没有电流，研究磁场产生电流的问题存在着更大的困难.图10-1为法拉第最早成功的电磁感应实验.他把两个线圈绕在一个铁环的两边，线圈A接直流电源，线圈B的两端用一根较长的铜导线连接起来.在离铁环较远处的铜导线附近放一个小磁针.他发现，每当闭合开关S，线圈A通电时，小磁针立即明显摆动，随后稳定在平衡位置上.当切断线圈A与电源的连接时，小磁针又出现来回摆动的现象.这表明，在线圈通电和断电的瞬间，线圈B中有电流产生，这种现象称为电磁感应现象.

图10-1法拉第最早的电磁感应实验

为了深入研究电磁感应现象，法拉第等人还做过许多其他实验，大致可以归纳为两类.一类是当一个不含电源的闭合导体回路与磁铁，如图10-2(a)所示，或另一个载流线圈，有相对运动时，闭合回路中出现电流，如图10-2(b)所示；另一类是当一个线圈中的电流发生变化时，在它附近的另一个不含电源的闭合导体回路中出现电流，如图10-2(c)所示.

图10-2两类电磁感应现象

而且这两类实验可以用一个统一的思想加以描述，那就是当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，闭合回路中出现电流.这种电流并不是与原电流本身有关，而是与原电流的变化有关.法拉第将这种现象与静电感应类比，称为电磁感应现象，将所产生的电流称为感应电流，感应电流的出现说明回路中有电动势存在，这种电动势称为感应电动势.

楞次定律

二、1833年，俄国物理学家楞次在法拉第实验的基础上，总结出一条可以直接判断感应电流方向的定律.闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化，这个规律称为楞次定律.这里，所谓阻碍磁通量的变化是指当磁通量增加时，感应电流的磁通量与原来的磁通量方向相反，阻碍它增加；当磁通量减小时，感应电流的磁通量与原来的磁通量方向相同，阻碍它减少.用楞次定律判断感应电流方向的步骤是：首先判断穿过闭合回路的磁通量的方向，磁通量是增加还是减少；然后根据楞次定律来确定感应电流所激发的磁场的方向，与原来的磁场反向还是同向；最后根据右手螺旋法则从感应电流产生的磁场方向确定感应电流的方向.下面以磁铁移向线圈为例具体说明这个过程.在图10-3(a)中，当磁铁插入线圈时，穿过线圈的磁通量增加，按照楞次定律，感应电流激发的磁通量应与原磁通量反向；再根据右手螺旋法则，可知感应电流的方向如导线中箭头所示.相反，当磁铁拔出时，穿过线圈的磁通量在减少，感应电流的方向如图10-3(b)所示.

图10-3磁通量增减与感应电流的方向

楞次定律也可以用另一种方式来表述，感应电流的方向，总是使感应电流产生的效果，反抗引起感应电流的原因.同样是图10-3(a)所示的实验，当磁铁向左插入线圈时，线圈也相当于一个磁铁，N极向右，与磁铁的N极相对，两个同性磁极互相排斥，其效果是反抗磁铁插入.而在图10-3(b)所示的实验中，当磁铁拔出时，感应电流使线圈的S极出现在右端，它与磁铁的N极互相吸引，其效果是阻碍磁铁拔出.在并不要求具体确定感应电流方向，只需判明感应电流引起的效果问题上，使用楞次定律的第二种表述更为方便.

楞次定律实质上是能量守恒定律在电磁感应中的具体体现.例如，当磁棒和线圈做相对运动而产生感应电流时，感应电流在线圈中流动将放出焦耳热.根据能量守恒定律，这部分热量只能从其他形式的能量转化而来.在上述例子中，当把磁棒插入线圈或从线圈中拔出来时，都必须克服斥力或引力做功而消耗能量，正是这种非静电性的作用力做功，才产生感应电动势，将其他形式的能量转化为感应电流所释放的焦耳热.所以，电磁感应现象的本质是通过非静电性的作用产生电动势，将其他形式的能量转换为电能的过程.

法拉第电磁感应定律

三、实验表明，对于任一给定回路，其中感应电动势的大小与回路所包围面积的磁通量变化的快慢有关.磁通量变化的快慢，可以用磁通量对时间的变化率
来表示.麦克斯韦在法拉第对电磁感应现象研究的基础上，总结出感应电动势与磁通量变化率之间关系的数学表达式，即

(10-1)

式(10-1)即为法拉第电磁感应定律.此式表明，当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，不论这种变化是什么原因引起的，回路中都有感应电动势产生，感应电动势就等于磁通量对时间变化率的负值.应当指出，式(10-1)中的Φ是穿过回路所包围面积的磁通量.如果回路是由N匝密绕线圈组成的，而穿过每匝线圈的磁通量都等于Φ，那么通过N匝密绕线圈的磁通量则为Ψ=NΦ，我们通常把Ψ称为磁通链数（全磁通），则有

（10-2）

式中，负号反映感应电动势的方向与磁通量变化之间的关系.法拉第电磁感应定律中的负号也可以看作楞次定律的数学表达.电动势和磁通量都是标量，其方向是相对于某一假定方向而言的，用正、负号表示.选定图10-4所示的方向为回路的绕行正方向，规定产生沿该方向的感应电流的电动势为正；反之，电动势为负.与该方向成右手螺旋关系的磁通量为正，反之为负.那么,当正向穿过回路包围面积的磁通量增加时，感应电动势为负，如图10-4(a)所示；当正向穿过回路包围面积的磁通量减少时，感应电动势为正，如图10-4(b)所示.当然，也可选与图10-4相反的方向作为回路绕行正方向，判断感应电动势的方法与图10-4类似.用这种方法确定感应电动势的方向和用楞次定律确定的方向完全一致.要说明一点.因此，如何正确理解和运用式(10-1)中的负号来判断感应电动势的方向，是掌握好法拉第电磁感应定律的一个重要方面.

图10-4感应电动势的方向（a）Φ>0,dΦ/dt>0,Ei<0（b）Φ>0,dΦ/dt<0,Ei>0

应该指出，导体回路中的感应电动势只与穿过回路的磁通量对时间的变化率有关，而与穿过回路的磁通量及回路的材质无关.因为磁通量一般是空间和时间的函数，所以导体回路中的感应电动势也是空间和时间的函数.注意，如果线圈不是闭合的，虽然没有感应电流产生，但感应电动势仍然存在.因此，在电磁感应现象中，感应电动势比感应电流反映出更为本质的东西.若导体回路的电阻为R，则回路的感应电流为

（10-3）

在t1→t2时间内，通过导体回路截面的感应电量为

（10-4）

式中，t1时刻的磁通量为Φ1，t2时刻的磁通量为Φ2.此式表明，回路中的感