复数乘除的几何意义与复数旋转任意角度

复数乘除的几何意义与复数旋转任意角度

复数是高中数学的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥着重要作用。本文将从几何的角度，深入探讨复数乘除的几何意义以及如何通过复数实现任意角度的旋转。

复数乘法的几何意义

根据复数乘除的公式：

$$
z1 \cdot z2 = r_1r_2\left[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right]
$$

和

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right]
$$

联系复数的向量表示，我们可以给出两复数相乘的几何意义：

两复数 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ 与 $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ 相乘时，可以在复平面上画出它们对应的向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ 和 $\overrightarrow{OZ_2}$。然后将 $\overrightarrow{OZ_1}$ 旋转一个角 $|\theta_2|$（如果 $\theta_2 > 0$，就按逆时针方向旋转；如果 $\theta_2 < 0$，就按顺时针方向旋转），再把它的模变为原来的 $r_2$ 倍，就可以得到向量 $\overrightarrow{OZ}$（如图 1.9 所示），这一向量就对应着所求两复数的积。

又因为 $\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$，所以一个复数与 $i$ 相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$，即

一个数乘以 $i$ 相当于逆时针旋转 90 度

复数旋转任意角度

上面得到一个复数乘以 $i$ 为原复数旋转 $90^\circ$，接下来有一个问题：一个复数旋转任意角度 $\theta$ 怎么表示呢？

我们将使用向量来研究这个问题。如图 3.4-4，把复数 $z$ 对应的向量 $\overrightarrow{OP}$ 旋转角 $\alpha$ 得到 $\overrightarrow{OP'}$，把 $\overrightarrow{OP}$ 旋转 $90^\circ$ 得到 $\overrightarrow{OQ}$，则由平面向量基本定理可知，$\overrightarrow{OP'}$ 可写成 $\overrightarrow{OP}$ 和 $\overrightarrow{OQ}$ 方向上的单位向量 $e_1$ 和 $e_2$ 的实数倍之和，即 $\overrightarrow{OP'} = ae_1 + be_2$。

因为向量旋转，它的模不变，只是角度改变，所以可以设 $r = |OP|$，则 $|OP'| = |OQ| = r$，$\overrightarrow{OP} = re_1$，$\overrightarrow{OQ} = re_2$。

所以

$$
\cos\alpha = \frac{a}{r}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{r}
$$

即

$$
a = r\cos\alpha, \quad b = r\sin\alpha
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{OP'} &= (r\cos\alpha)e_1 + (r\sin\alpha)e_2 \
&= \cos\alpha \cdot \overrightarrow{OP} + \sin\alpha \cdot \overrightarrow{OQ}
\end{aligned}
$$

所以 $\overrightarrow{OP'}$ 对应的复数为 $\cos\alpha \cdot z + \sin\alpha \cdot iz$，可看作是由 $\cos\alpha + i\sin\alpha$ 乘 $z$ 得到的。

由此得到一个结论：

用 $\cos\alpha + i\sin\alpha$ 乘任意复数 $z$，其几何意义是：将复数 $z$ 对应的平面向量旋转角 $\alpha$。

例1 计算 $(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)^2$；

解：设 $w = \cos 45^\circ + i\sin 45^\circ$，则用 $w$ 乘任意复数 $z$，其几何意义是将 $z$ 对应的向量旋转 $45^\circ$。于是，用 $w^2$ 乘 $z$ 的几何意义是将 $z$ 对应的向量连续旋转两个 $45^\circ$，也就是将 $z$ 对应的向量旋转 $90^\circ$。又由虚数单位 $i$ 乘任意复数 $z$ 的几何意义可知，

$$
w^2 = i, \text{ 即} (\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)^2 = i.
$$