复数域内的对数函数：定义、性质与计算

复数域内的对数函数：定义、性质与计算

对数函数是数学中的一个重要概念，特别是在复数域内，其性质和应用更加丰富。本文将详细介绍复数域内的对数函数，包括其定义、计算方法、主值、分支以及相关性质。通过多个具体例子，帮助读者深入理解这一重要数学工具。

对数函数的定义

对数函数定义为指数函数的反函数。满足方程 ${\mathrm{e}}^{w}=z$ 的函数 $w=f\left(z\right)$ 称为对数函数,记作 $\mathbit{w}=\mathbf{L}\mathbf{n}\mathbit{z}$.

对数函数的计算

令 $z=|z|{\mathrm{e}}^{i\mathrm{Arg}z}=r{\mathrm{e}}^{i\theta },w=u+iv$,

由 ${\mathrm{e}}^{w}=z$, 有 ${\mathrm{e}}^{u}\cdot {\mathrm{e}}^{iv}=r\cdot {\mathrm{e}}^{i\theta }$,

$⇒\left\{\begin{array}{l}u=\mathrm{ln}r=\mathrm{ln}|z|,-\text{由}z\text{的模得到}w\text{的实部；}\\ v=\theta =\mathrm{Arg}z.\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{由}z\text{的辐角得到}w\text{的虚部。}\end{array}$

即 $w=\mathrm{Ln}z=\mathrm{ln}|z|+iArgz$

$=\mathrm{ln}|z|+i\mathrm{arg}z+2k\pi i,\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(k=0,±1,±2,\cdots \right)$

$w=\mathrm{Ln}z=\mathrm{ln}|z|+i\mathrm{arg}z+2k\pi i,\left(k=0,±1,±2,\cdots \right)$.

显然对数函数为多值函数。

主值（枝）

称 $w=\mathrm{ln}|z|+i\mathrm{arg}z$ 为 $w=\mathrm{Ln}z$ 的主值(枝)，

记为 $w=\mathrm{ln}z$.

故有 $\mathrm{Ln}z=\mathrm{ln}z+2k\pi i,\left(k=0,±1,±2,\cdots \right)$.

特别地, 当 $z=x>0$ 时,

$\mathrm{Ln}z$ 的主值 $\mathrm{ln}z=\mathrm{ln}x$ 就是实对数函数。

分支(枝)

对于任意一个固定的 $k$, 称 $\mathrm{ln}z+2k\pi i$ 为 $\mathrm{Ln}z$ 的一个分支(枝)。

性质

(1) $w=\mathrm{Ln}z$ 在原点无定义, 故它的定义域为 $ze 0$.

注意到，函数 $\mathrm{arg}z$ 在原点无定义；

或者指数函数 ${\mathrm{e}}^{w}e 0$.

(2) $\mathrm{Ln}z$ 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续;特别地, $\mathrm{ln}z$ 在除去原点及负实轴的平面内连续。

注意到，函数 $\mathrm{arg}z$ 在原点及负实轴上不连续。

（3） $\mathrm{Ln}z$ 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；特别地， $\mathrm{ln}z$ 在除去原点及负实轴的平面内解析。由反函数求导法则可得 $\frac{d\mathrm{ln}z}{dz}=\frac{1}{{\left({e}^{w}\right)}_{w}^{\prime }}=\frac{1}{{e}^{w}}=\frac{1}{z}$ ．进一步有 $\frac{d\mathrm{Ln}z}{dz}=\frac{d\left(\mathrm{ln}z+2k\pi i\right)}{dz}=\frac{d\mathrm{ln}z}{dz}=\frac{1}{z}$

（4） $\mathrm{Ln}\left({z}_{1}{z}_{2}\right)=\mathrm{Ln}{z}_{1}+\mathrm{Ln}{z}_{2}$ ；

$\mathrm{Ln}\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\mathrm{Ln}{z}_{1}-\mathrm{Ln}{z}_{2}$

（在集合意义下）

具体例题

例1求下列对数以及它们的主值。

(1) $\mathrm{Ln}\left(-i\right)$

(2) $\mathrm{Ln}\left(1+i\right)$

解 (1) $\mathrm{Ln}\left(-i\right)=\mathrm{ln}|-i|+i\mathrm{arg}\left(-i\right)+2k\pi i$

$=\mathrm{ln}1+i\left(-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi i=-\frac{\pi }{2}i+2k\pi i,$

主值 $\mathrm{ln}\left(-i\right)=-\frac{\pi }{2}i$.

(2) $\mathrm{Ln}\left(1+i\right)=\mathrm{ln}|1+i|+i\mathrm{arg}\left(1+i\right)+2k\pi i$

$=\mathrm{ln}\sqrt{2}+i\left(\frac{\pi }{4}\right)+2k\pi i,$

主值 $\mathrm{ln}\left(1+i\right)=\mathrm{ln}\sqrt{2}+i\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

例2求对数 $\mathrm{Ln}\left(-1\right)$ 以及它的主值。

解

$\begin{array}{rl}\mathrm{Ln}\left(-1\right)& =\mathrm{ln}|-1|+i\mathrm{arg}\left(-1\right)+2k\pi i\\ & =\mathrm{ln}1+i\pi +2k\pi i=\left(2k+1\right)\pi i\end{array}$

主值 $\mathrm{ln}\left(-1\right)=\pi i$.

可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。

例3求对数 $\mathrm{Ln}2$ 以及它的主值。

解 $\mathrm{Ln}2=\mathrm{ln}|2|+i\mathrm{arg}2+2k\pi i=\mathrm{ln}2+2k\pi i$;

主值 $\mathrm{ln}2=\mathrm{ln}2$.

在实数范围内

在复数范围内

-可见，当 $z$ 为正实数时， $\mathrm{ln}z$ 与实对数函数是一致的。

例4 求导 $f\left(z\right)=\mathrm{ln}\left(1+z\right);$

解 ${f}^{\prime }\left(z\right)=\frac{1}{1+z}$ ，

其中，$z\in {D}_{1}$（如图）。

例5 求导 $g\left(z\right)=ln{z}^{2}$

解：${g}^{\prime }\left(z\right)=\frac{1}{{z}^{2}}\cdot 2z=\frac{2}{z}$,

其中，$z\in {D}_{2}$（如图）。