三相坐标变换：Clarke变换与Park变换详解
三相坐标变换：Clarke变换与Park变换详解
在电机控制领域，三相坐标变换是实现矢量控制的基础。本文将详细介绍Clarke变换和Park变换的原理和应用，帮助读者理解如何将三相交流量转换为两相直流量，从而实现对电机的精确控制。
相量法基础知识铺垫
相位超前或滞后的判断
- 坐标轴上在左边的是超前，在右边是滞后
- 函数式sin(ω+φ)为超前，sin(ω-φ)为滞后
三相坐标系到两相静止坐标系的推导
以三相电压为例进行说明：
三相对称电压公式：
加到三相坐标系上就会合成相应的电压矢量，随着时间的变化该矢量逆时针旋转且幅值不变。ABC是固定的三相坐标系，这里是按照逆时针模式，ABC三个坐标轴上的量在时间上差了120，且A轴上的量超前B轴上的量超前C轴上的量，正弦量随着时间的变化，合成矢量也在不断变换。这里的坐标系起源于电机的定转子位置。
上式各相电压表示空间坐标系三个轴上的瞬时值，由欧拉公式：
则a,b,c三相坐标系合成矢量表达式如下：
上面最后式子相当于一个在实轴上，一个在虚轴上
则有：
Valpha,Vbeta即为两相静止坐标系下的分量，对应坐标系如下图所示：
将三相电压代入经过运算可得：
Valpha超前于Vbeta90度，两者幅值相等。但幅值为原来三相的电压的3/2倍，
若采用等幅值变换，那么需要对原矢量表达式再乘以2/3，来抵消掉前面的3/2，如下所示：
那么此时得到的新的alpha轴，beta轴分量的表达式如下
再将三相电压代入可得：
经过等幅值变换后的合成矢量的幅值为：
经过等幅值变换后合成矢量的幅值就是原来给定三相电压的幅值，这样变化前后，三相坐标系和两相静止坐标系上的正弦量幅值均相等，式1.8就是等幅值变化的方程，写成矩阵的形式如下：
Clarke变换：
其中最后一行均为1/2，是因为它包含了不对称三相正弦量的情况：
对于三相三线制电路是流不出零序分量的，三相四线制电路时，当三相电压不对称时，中线会通过零序分量，如果ua,ub,uc,为不对称的三相正弦量，那么它们的幅值不同，但角度还是相差120度的，当幅值不相等式，即ua,ub,uc,不对称时，总存在三相对称电压：ua’ ub’ uc’,使得：
由对称三相电的性质得：
可得：
然后提取2/3后，由变化后幅值相等就变成了上面矩阵那一行的1/2了。U0为零轴电流分量，如果电压本来对称的话，它的值为0。因为我们主要研究的是三相对称电路，所以u0不必过度纠结，如果不对称的话往往用正负序分离的方法解决，这也不会用到U0。所以最后一行系数不必过度纠结。
上面的坐标系是a轴与alpha轴重合的情况，这是我们常用的情况，但有些书上是按照alpha轴滞后于a轴90度来推导的
首先这样的坐标轴如下：
上式推导的结果重写如下：
这个式子是和alpha beta轴的位置无关的，因为它是在三相坐标系下得到的结果，他只是将最后得到的量映射到了对应的坐标轴上。如果对应到上面的坐标轴上，beta轴上的量是原来的Valpha， 现在的alpha轴在下面，那么它上面的量就相当于，原来的-Vbeta，因为之前的beta轴就在现在的alpha方向上，但是方向相反，所以加个负号。那么这样变化后的两静止坐标系上的分量就变为：
依然是alpha分量超前于beta轴分量90度。但是此时beta轴上的量为原来a轴的量,这也很好理解，因为beta轴和a轴重合嘛。
这样坐标变换矩阵就如下所示:
再说一下等功率变换：
由上面可知，经过运算后三相坐标系上的正弦量，变换成两相坐标系上的正弦量如下 作者：
如果设三相电压与电流的夹角为 theta，那么变换到两相坐标系后电压电流的夹角依然不变，
则三相平均有功功率可表示为
除以根号2代表有效值，×3代表三相，cos theta代表有功功率
两相有功功率可表示为：
1/2是两个根号2相乘，3/2是变换成两相静止坐标系所带的系数
假设原来变换时，乘以个系数k，使得前后功率相等，则有：
解得：
则最终的变换为：
则有：
写成矩阵的形式如下：
最最后一行一般不用
我们通常用到的主要是alpha轴和beta轴上的量，通过上面对比，除最后一行零序分量外，等功率变换和等幅值变换只是相差了个系数问题
Park变换，旋转变换，由两相静止坐标系到两相旋转坐标系上的转化，旋转角度与三相正弦量的角度一致。从a轴开始，以wt的角速度旋转，这样合成的电压矢量会和坐标轴同步旋转，所以坐标轴上的分量就是直流量了，这样就把三相交流量转化成了两相直流量，方便我们用比例积分去控制。
首先说明一下，如果前面是恒功率变换，那这里变换后的结果就是恒功率，如果前面是恒幅值变换，那么这里变换后的结果就是恒幅值。
先分析d轴起始位置与a轴重合的情况：基于cos的park变换
坐标系如下：
通过坐标分解可得：
将clarke变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵，以等幅值为例，如下：
如果d轴起始位置滞后于a轴90度：基于sin的park变换
坐标系如下，注意，旋转角度依然从A轴开始旋转，q轴为参考轴:
通过坐标分解可得：
写成矩阵的形式为：
将clarke变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵，以等幅值为例：
下面来看个现象：
现在进行归一化处理，给定电压幅值为1的正弦量，分别用sin cos的形式表示
然后分别将两者代入上式：
将cos形式电压的代入a轴与d轴起始位置重合的情况：
电压表达式也用了角速度ωt、dq轴也按角速度ωt进行旋转，说明合成矢量是和dq坐标系的d轴重合
可以得到：Vd==1, Vq == 0; 此时d是主控轴， 给定cos信号时使得d轴分量为1，所以是基于cos型的坐标系。
同理：将cos的形式代入d初始时滞后a轴90度的情况得：
将sin的形式代入d初始时与a轴重合的情况得：
将sin的形式代入d初始时滞后a轴90度的情况得：
我们习惯把d轴当做主轴来控制，就是通过变换后最好让d轴分量为1，所以当系统所使用的电压为cos形式时，那么用a轴与d轴重合的形式比较方便，此时d轴为1，对应simulink中的Rotating frame aligned with A axis at t = 0模式；如果系统使用的三相为sin的形式，那么使用d初始时刻滞后于a轴90度时比较方便，此时d轴为1，对应simulink中的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式；上面的结果也正对应了simulink 模块help中的一段话
如果经常仿真的话会发现,我们通常都是用它默认的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式，这也是因为我们给定的通常都是sin的形式，这样直接把d轴作为主轴控制就不会有问题。
最后将上面的公式总结一下：
坐标模式为alpha轴和A轴重合，另一种模式不常用，这里不再给出。
Clarke变换公式：
park变换（以等幅值变换为例）
d轴起始位置与A轴重合：
d轴起始位置滞后于A轴90度：