厄米共轭与中式共轭

厄米共轭与中式共轭

本文将探讨厄米共轭的概念，并在此基础上提出一种新的共轭关系——中式共轭。通过详细的数学推导和图形解释，帮助读者理解这两种共轭关系的性质和区别。

厄米共轭概念回顾

定义：n阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是厄米特矩阵（Hermitian Matrix）。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

首先来看实对称矩阵的厄米共轭矩阵，稍后再过渡到复对称矩阵的厄米共轭矩阵上去，先看下图。

厄米共轭图解一

• ⊙B的半径＝BA＝1
• ∠α＝∠ABC
• ∠β＝∠ABD
• a=cos(α) cos(β)-sin(α) sin(β)
• b=-cos(α) sin(β)-sin(α) cos(β)
• c=sin(α) cos(β)+cos(α) sin(β)
• d=-sin(α) sin(β)+cos(α) cos(β)
• m1={{a,b},{c,d}} 注释：矩阵m1由a、b、c、d构成。
• m2=转置(m1) 注释：矩阵m2是矩阵m1的转置矩阵。
• m3=conjugate(m2) 注释：矩阵m3是矩阵m2的共轭矩阵。
• m4=m3 m1 注释：矩阵m4是矩阵m3与矩阵m1的乘积。
• m4=m3 m1＝单位矩阵。

由于矩阵m3是矩阵m1的转置共轭矩阵，因此，矩阵m1与它的转置共轭矩阵的乘积是单位矩阵，即矩阵m1与它的转置共轭矩阵是厄米共轭的，这是实数矩阵的厄米共轭，它是厄米共轭的特例。如下图所示。

厄米共轭图解二

下面介绍C点和D点关于x轴对称点的厄米共轭。如图所示。

厄米共轭图解三

• C'=对称(C,x轴) 注释：C'是C关于x轴的对称点。
• D'=对称(D,x轴) 注释：D'是D关于x轴的对称点。
• ∠ι＝-∠α
• ∠κ＝-∠β
• o=cos(ι) cos(κ)-sin(ι) sin(κ)
• u=-cos(ι) sin(κ)-sin(ι) cos(κ)
• v=sin(ι) cos(κ)+cos(ι) sin(κ)
• w=-sin(ι) sin(κ)+cos(ι) cos(κ)
• m5={{o,u},{v,w}}＝转置(m1) 注释：矩阵m5是矩阵m1的转置矩阵。
• m6=conjugate(m5) 矩阵m6是矩阵m5的共轭矩阵。
• m7=m6 m1＝单位矩阵。

所以矩阵m6与矩阵m1是厄米共轭的。由于实矩阵的转置矩阵就是它本身，所以如果两个实矩阵是厄米共轭的，则该实矩阵与它的转置矩阵的乘积等于1。

下面来讨论复矩阵，看看它的厄米共轭与实矩阵的厄米共轭之间的联系。如图所示。

厄米共轭图解四

• z_{1}=转换为复数(F) 注释：将点F转换成复数z₁
• z_{2}=转换为复数(E) 注释：将点E转换成复数z₂
• m8={{z_{1},0},{0,z_{2}}} 注释：m8是复数矩阵，主对角线上的元素分别是z₁ ，z₂，反对角线上的元素皆为0。
• m9=转置(m8) 注释：m8的转置
• m10=conjugate(m9) 注释：m9的共轭
• m11=m10 m8＝单位矩阵

因此，m10和m8是厄米共轭的。

• z_{3}=转换为复数(M) 注释：将点M转换成复数z₃
• z_{4}=转换为复数(N) 注释：将点N转换成复数z₄
• m12={{z_{3},0},{0,z_{4}}} 注释：m12是复数矩阵，主对角线上的元素分别是z₃ ，z₄，反对角线上的元素皆为0。
• m13=转置(m12) 注释：m12的转置
• m14=conjugate(m13) 注释：m13的共轭
• m15=m14 m12＝单位矩阵。

因此，m12和m14是厄米共轭的。

通过以上分析，可以得出这样一个事实：一个复数对角矩阵，它的主对角线上的元素皆为复数，反对角线上的元素皆为零，这个矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积是单位矩阵。因此，任何复数对角矩阵一定是厄米共轭的。

中式共轭

下面介绍的这种共轭与厄米共轭有所不同，是我研究出来的一种共轭矩阵，为了不使之与厄米共轭产生混淆，我姑且将其命名为中式共轭。下面来向诸位介绍中式共轭。

由前，已知矩阵m8和矩阵m10是厄米共轭的，矩阵m12和矩阵m14是厄米共轭的，将m8和m12的元素取出构成一个新矩阵：

• m16={{z_{1},z_{2}},{z_{4},z_{3}}} 注释：复矩阵m16主对角线上的元素是z₁，z₃，反对角线上的元素是z₂，z₄
• m17=转置(m16) 注释：m16的转置
• m18=conjugate(m17) 注释：m17的复共轭
• m19=m18 m16 注释：m18与m16的乘积
• m19={{2,0},{0,2}} 注释：主对角线上元素皆是数值2的对角矩阵。

矩阵18与矩阵16也是共轭矩阵，这即是我所说的中式共轭。

中式共轭是由厄米共轭推导出来的，如前所示，首先在半径为1的圆上任取两点，再取这两点关于x轴的对称点，分别得到两对具有厄米共轭关系的点，再将这四个点转换成复数构造一个矩阵，这个矩阵与它的转置共轭矩阵就构成了中式共轭，中式共轭这个名字是我为了区别厄米共轭取的名称。

中式共轭与厄米共轭的区别：厄米共轭是指一个矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积是单位矩阵，中式共轭中一个矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积不是单位矩阵，而是单位矩阵的2倍。中式共轭可视作两个厄米共轭的合成。即中式共轭包含厄米共轭。

文章的最后，我将厄米共轭和中式共轭分别引申以下，进一步的寻找二者之间的联系。请看下图。

厄米共轭与中式共轭一

图中∠α和∠β仍如前文所示保持不变，当然，厄米共轭是不受这两个角的取值的影响的，中式共轭同样不受角度变化的影响，影响厄米共轭与中式共轭的因素主要是圆的半径。因此，这两个角可以任意取值，为了表述的需要，就暂且为这两个角随意取个值。下面先讨论圆的半径变化对厄米共轭和中式共轭的影响，先讨论对厄米共轭的影响。

当圆的半径等于1时，厄米共轭成立，即一个实矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积等于单位矩阵。而当圆的半径不再等于1时，一个实矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积将不再等于单位矩阵，而是表现出一些规律性。

来看当⊙B的半径R＝2时的变化，

• 延长BE交外圆于点H。
• 延长BF交外圆于点R。
• 设R点的坐标是R(e,f)
• 设H点的坐标是H(g,h)
• 矩阵m20＝{{e,f},{g,h}}
• m21=转置(m20) 注释：m20的转置
• m22=conjugate(m21) 注释：m21的复共轭
• m23=m22 m20 注释：m22与m20的乘积
• m19={{4,0},{0,4}} 注释：主对角线上元素皆是数值4的对角矩阵。

重复上述过程，当圆的半径＝3时，得到矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积＝{{9,0},{0,9}}，以此类推，当圆的半径是实数R时，矩阵与它的转置共轭矩阵的乘积＝{{n²,0},{0,n²}}。因此，厄米共轭仅是当圆的半径等于1时的一种特殊情形。

讨论完了厄米共轭在实数范围内的推广，我们可以用类似方法讨论中式共轭在复数范围内的推广。

由于下面要用复数矩阵，所以将点E、F、M、N、G、Ⅰ、R、H分别转换为复数，如下图所示。

厄米共轭与中式共轭二

• z_{1}=转换为复数(F) 注释：将点F转换成复数z₁
• z_{2}=转换为复数(E) 注释：将点E转换成复数z₂
• z_{3}=转换为复数(M) 注释：将点M转换成复数z₃
• z_{4}=转换为复数(N) 注释：将点N转换成复数z₄
• z_{13}=转换为复数(F)
• z_{14}=转换为复数(H)
• z_{15}=转换为复数(I)
• z_{16}=转换为复数(G)

构造如下矩阵：

• m24={{z_{13},z_{14}},{z_{15},z_{16}}}
• m25=转置(m24) 注释：转置
• m26=conjugate(m25) 注释：取复共轭
• m27=m26 m24＝{{8,0},{0,8}}

重复上述过程，当圆的半径等于3时，得到一个复矩阵与其转置共轭复矩阵的乘积＝{{27,0},{0,27}}。

当圆的半径＝1时，如果是中式共轭的，则矩阵与它的转置共轭复矩阵的乘积＝{{2,0},{0,2}}。

当圆的半径＝2时，如果是中式共轭的，则矩阵与它的转置共轭复矩阵的乘积＝{{8,0},{0,8}}。

当圆的半径＝3时，如果是中式共轭的，则矩阵与它的转置共轭复矩阵的乘积＝{{27,0},{0,27}}。

......

以上这些乘积有一个共同的特征，即乘积所对应的矩阵的主对角线上的元素都是相同的，反对角线上的元素都是0。主对角线上元素的值随圆的半径的取值不同而变化。当圆的半径是实数R时，主对角线上元素的值等于2R²。例如，当R＝5时，主对角线上元素的值等于2*5²＝50。可见，主对角线上的元素的值等于2也仅是当圆的半径等于1时的特殊情况。对于实矩阵而言，在圆的半径等于1，当它满足厄米共轭时，主对角线上的元素是1，对于复矩阵而言，在圆的半径等于1，当它满足中式共轭时，主对角线上的元素是2。

总结：厄米共轭与中式共轭都与圆的半径相关，厄米共轭与中式共轭都是共轭的特殊形式。