双曲线的渐近线与共轭双曲线

双曲线的渐近线与共轭双曲线

双曲线的渐近线

对于标准双曲线，如果令右侧其值为0，则可以得到其渐近线方程为 $y=\frac{b}{a}x$ 与直线 $y=-\frac{b}{a}x$

双曲线的渐近线决定了双曲线开口的程度， 如果两个双曲线渐近线相同，则可以设置 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=k$

例1双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{{y}^{2}}{2}-{x}^{2}=1$ 有共同的渐近线, 且过点 $\left(\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$. 求双曲线 $C$ 的方程;

解：设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{{y}^{2}}{2}-{x}^{2}=\lambda$,

把点 $\left(\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$ 代入 $C$ 中, 即 $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}-\left(-\sqrt{2}{\right)}^{2}=\lambda$, 解得 $\lambda =-1$,

所以双曲线 $C$ 的方程为 ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$.

共轭双曲线

当双曲线 ${S}^{\prime }$ 的实轴是双曲线 $S$ 的虚轴，且双曲线 ${S}^{\prime }$ 的虚轴是双曲线 $S$ 的实轴时，称双曲线 ${S}^{\prime }$ 与双曲线 $S$ 为共轭双曲线。若 $S$ 的方程为

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,$

则 ${S}^{\prime }$ 的方程为

$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1.$

双曲线及其共轭可能有共轭的直径。在狭义相对论这样的直径可以代表时间和空间的轴，其中一条双曲线代表事件在离目标给定的空间距离处中心,另一个表示距中心相应时间距离处的事件。

共轭双曲线特点为:

1. 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。

2. 焦距相等。

3. 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1 。