理解反函数
理解反函数
反函数的定义
设函数 $f : A \rightarrow B$，对于任意 $b \in B$，存在唯一的 $a \in A$ 使得 $f^{-1}(b) = a$，那么 $f^{-1} : B \rightarrow A$ 就是 $f : A \rightarrow B$ 的反函数。其中 $f$ 必须是一个双射函数（同时满足单射和满射）。
如何求一个函数的反函数
对于简单的具有明确数学式子的函数，例如：
$$f(x) = 2x + 1, x \in R$$
我们可以简单地用数学规则调换一下 $x$ 和 $f(x)$ 的顺序：
$$f(x) = 2x + 1$$
$$-2x = 1 + f(x)$$
$$2x = f(x) - 1$$
$$x = \frac{f(x)}{2} - 0.5$$
这时把 $x$ 换成 $f^{-1}(x)$，把右边的 $f(x)$ 换成 $x$，就得出反函数的式子：
$$f^{-1}(x) = 0.5x - 0.5$$
反函数的图像和本身函数的图像对于 $y=x$ 对称
很明显，上图两个函数直线就是对于 45度直线（$y=x$）对称。实际上，任何具有反函数的函数图像都有这个性质。
例如函数：
$$f(x) = x^3, x \in R$$
和其反函数：
$$f(x) = \sqrt[3]{x}, x \in R$$
在图像上也是对于 $y=x$ 对称的。
另一个角度来解释非双射函数为何没有反函数
一个函数满足双射条件，才能让定义域和陪域里的元素一一对应。只有一一对应了才可能反过来产生另一个函数。这个概念并不易理解，我们可以从图像切入。
例如函数：
$$f(x) = -x^2, x \in R$$
它是1个抛物线，但是我们可以强制画出它对于 $y=x$ 的对称图像，如上图中的橙色图像，已经不是1个函数了，因为同1个 $x$，例如 $-2$，具有两个不同的 $y$ 值。这就是为何只有双射函数才有反函数。
但是，如果我们调整下定义域：
$$f : [0, +\infty] \to [-\infty, 0], f(x) = -x^2$$
这时它就变成1个双射函数了。这样的话，其实这个 $f(x)$ 是具有反函数的：
$$f^{-1} : [-\infty, 0] \to [0, +\infty], f^{-1}(x) = \sqrt{-x}$$
图像：