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用泰勒级数估算平方根需展开的阶数

创作时间:

作者:

@小白创作中心

用泰勒级数估算平方根需展开的阶数

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/weixin_41640959/article/details/142029918

本文详细探讨了如何使用泰勒级数估算平方根，并深入分析了展开的阶数与精度的关系。文章从泰勒级数的基本概念出发，逐步推导出平方根函数的泰勒展开式，通过数学证明确定剩余项的上限，并使用Matlab进行实验验证。内容深入且系统，适合对数学和编程感兴趣的读者阅读。

我们知道，一个可导函数，可以用泰勒级数展开，这是一种估算函数值的方法。泰勒级数展开的基本公式是：

$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$

用泰勒级数估算函数值的方法是只取前几项，忽略后面的无限多项。但泰勒级数并非必然收敛，所以需要凑出能使泰勒级数收敛的条件。

博文介绍了一种用泰勒级数估算平方根的方法，大致思路就是将平方根转化为 $\sqrt{x} = \sqrt{a^2(1+b)} = a\sqrt{1+b}$，其中 $a$ 为正整数，$b$ 是一个接近1的数。但该文的方法只取泰勒展开式的二阶近似，有时准确，有时不准确。当然，该文给出了通过乘以某一系数的方法提高准确度的方法，是有效的。但本文推荐的方法是展开更高阶的泰勒级数，而展开的泰勒级数的阶数并不固定，而是和精度要求，以及被开方数有关。被开方数与1的接近程度可以决定泰勒级数在展开一定阶数后剩余项的大小，且可以用数学算式得出。所以，根据精度的要求，被开方数只要在0到2之间，就可以计算出应展开的阶数，然后无需乘系数，就计算出符合精度要求的平方根。

一、平方根函数的泰勒展开式

对于平方根函数 $f(x) = \sqrt{x}$，其一阶导数为 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，二阶导数为 $f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$，三阶导数为 $f'''(x) = \frac{3}{8x^2\sqrt{x}}$。以此类推，$n$ 阶导数是：

$$
f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2^n x^{n-\frac{1}{2}}}
$$

对于泰勒展开，这里取 $a=1$，则 $f(1) = 1$，$f'(1) = \frac{1}{2}$，$f''(1) = -\frac{1}{4}$，$f'''(1) = \frac{3}{8}$。无论 $x$ 如何取值。

所以泰勒展开式为：

$$
\sqrt{x} = 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 + \frac{1}{16}(x-1)^3 - \cdots
$$

由于展开式是正负交替，这里将其写成：

$$
\sqrt{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} (x-1)^n
$$

(1)

二、泰勒展开式收敛性的证明

式（1）中，令 $r_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$，这里采用比值审敛法判断式（1）的收敛性。

注：因为这里前提是 $0 < x < 2$，所以 $x-1$ 可以约掉。

显然，当 $n \to \infty$ 时，$r_n \to 0$，故式（1）收敛。

三、泰勒展开式的阶数及剩余项的大小

（一）级数公比初步分析

首先，根据 $r_n$ 的算式，用GeoGebra软件，画出当 $n=1$ 和 $n=2$ 时 $r_n$ 关于 $x$ 的函数图像。

从图中可看出 $r_n$ 在 $0 < x < 2$ 时单调递增，且始终大于0。鉴于其极限值存在，因此可以猜测，当 $n \to \infty$ 时，$r_n \to 0$。若证实成立，则可用无穷等比数列的算式找到式（1）的剩余项的上限值。具体说明将在本章节第三小节详述。

（二）数学证明

这里用作差法证明 $r_n < 1$。

（2）

现在判断（2）式的正负

首先，已知 $0 < x < 2$，所以 $x-1 > -1$。另外，由于 $n \geq 1$，所以 $2n-1 > 0$。

对于 $2n-1$，当 $n$ 确定时，该式就是 $x$ 的一次函数，在 $0 < x < 2$ 上单调，所以只要 $x=0$ 和 $x=2$ 时该式值均大于0，该式就必然大于0。

当 $x=0$ 时，该式 $2n-1 > 0$，当 $n \geq 1$ 时其必然成立。

当 $x=2$ 时，该式 $2n-1 > 0$，当 $n \geq 1$ 时其必然成立。

而对于 $-8n + 4nx - x - 1$，

当 $n=1$ 时，该式 $-8 + 4x - x - 1 = 3x - 9 < 0$。

当 $n>1$ 时，该式 $-8n + 4nx - x - 1 < 0$。

所以式（2）必为负，说明 $r_n < 1$ 成立。

于此同时，可用类似的方法证明 $r_n > 0$，所以 $0 < r_n < 1$。

（三）剩余项上限值算式

在上一小节中，已经证明了 $0 < r_n < 1$，所以剩余项的绝对值必然小于首项为 $a_1$，公比为 $r_n$ 的无穷等比数列的绝对值。根据无穷等比数列公式：

$$
S = \frac{a_1}{1-r}
$$

将 $a_1$ 和 $r_n$ 代入，可知对于式（1），当计算到第 $m$ 项时，剩余项的绝对值：

$$
R_m = \frac{a_{m+1}}{1-r_{m+1}}
$$

（3）

因此，只要给定精度要求 $\epsilon$，估算平方根时，根据所需的精度 $\epsilon$，只需用式（3）算出令 $R_m < \epsilon$ 的最小 $m$ 即可。

四、实验

在这一章节，用Matlab计算当 $x$ 时通过式（1），令 $m$ 估算出来的 $\sqrt{x}$，以及通过式（3）计算的 $R_m$ 的上限值，因此验证通过泰勒级数算出的 $\sqrt{x}$ 估计值和实际值的误差小于（3）中计算的上限值。另外，也观察对于各 $m$ 值，通过泰勒级数展开 $m$ 阶后，余式的上限值，从而找出对于不同的 $x$ 值，需要展开多少阶后才能达到所需的精度。

（一）实验代码

首先是通过泰勒级数估算 $\sqrt{x}$ 值的程序

function res = estiSquareRoot(x, n)
    if x <= 0 || x >= 2
        res = nan;
        disp("x must be between 0 and 2, open range")
        return
    end
    if n < 0 || rem(n, 1) ~= 0 
        res = nan;
        disp("n must be a non-negative integer!")
        return
    end
    res = 1/2 + x/2;
    for m = 1:n
        ks = 1:(2 * m - 1);
        res = res + prod(2*ks-1) * (x - 1) ^ (2 * m) * (-8 * m + 4 * m * x - x - 1) / (2 ^ (2 * m + 1) * factorial(2 * m + 1));
        
    end
end

函数中的x代表 $x$，函数中的n代表 $m$。

另外，计算 $R_m$ 的上限值

function remainSup = getRemainTaylor(x, m)
    if x <= 0 || x >= 2
        remainSup = nan;
        disp("x must be between 0 and 2, open range")
        return
    end
    if m < 0 || rem(m, 1) ~= 0 
        remainSup = nan;
        disp("n must be a non-negative integer!")
        return
    end
    ks = 1:(2*m-1);
    remainSup = prod(2 * ks - 1) * (x - 1)^(2 * m) * (-8 * m + 4 * m * x - x - 1)/((1 - (x - 1) ^ 2) * 2 ^ (2 * m + 1)*factorial(2 * m + 1));
end

函数中x代表 $x$，m代表 $m$。

然后计算对于不同的 $x$，不同的 $m$，估算的平方根值和剩余值上限。注意：对于用 $m$ 阶展开的估值，其余式是 $R_{m+1}$。另外，也用Matlab内置的函数计算平方根，作为参考。

x_to_test = 0.1:0.1:1.9;
c_to_test = 1:10;
square_root_estimation = zeros(length(x_to_test), length(c_to_test));
square_root_remaining = zeros(length(x_to_test), length(c_to_test));
for ii_for_x = 1:length(x_to_test)
    for jj_for_c = 1:length(c_to_test)
        square_root_estimation(ii_for_x, jj_for_c) = estiSquareRoot(x_to_test(ii_for_x), c_to_test(jj_for_c));
        square_root_remaining(ii_for_x, jj_for_c) = getRemainTaylor(x_to_test(ii_for_x), c_to_test(jj_for_c) + 1);
    end
end
square_root_real = sqrt(x_to_test)';

（二）实验结果

然后观察两个结果。第一个，是估算的平方根和实际平方根的差值。

x_labels = "x=" + x_to_test;
c_labels = "c=" + c_to_test;
T = array2table(abs(square_root_real - square_root_estimation), 'VariableNames', c_labels, 'RowNames', x_labels)

结果如下：

从表格中可看出，$x$ 越远离1，精确估计平方根需要展开的泰勒阶数 $m$ 越大。

第二个，是余式的上限

T = array2table(abs(square_root_remaining), 'VariableNames',c_labels,'RowNames',x_labels)

结果如下：

比较两表，可以确认平方根的计算差距小于通过（3）计算的上限。另外，对于 $x$，$m$ 时，其差距就已经小于0.001。此时其为三阶展开。对于[3]中使用的方法，如写成 $\sqrt{x} = \sqrt{a^2(1+b)} = a\sqrt{1+b}$，则令 $b$，此时其根式部分的计算差不超过0.0021，整体差距不超过0.0042。同样，若写成 $\sqrt{x} = \sqrt{a^2(1+b)} = a\sqrt{1+b}$，则根式部分计算差不超过0.0015，整体差距不超过0.003。当然，若 $x$ 离1更远，需展开的阶数会更大，但只要 $x$，都可通过式（3）算出需展开的阶数。