勾股定理的验证及简单应用

勾股定理的验证及简单应用

勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥着重要作用。本文将带你深入了解勾股定理的定义、验证方法及其在实际生活中的应用。

勾股定理的定义

勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。例如：一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么有3²＋4²＝5²，即斜边的长为5。

勾股定理的验证方法

勾股定理的验证方法很多，有测量法、数格子法、割补法（拼图法）、面积法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）等。

勾股定理的适用范围

勾股定理仅适用于直角三角形。

勾股定理的应用实例

生活应用

如图，湖的两岸有A，B两棵景观树，在与AB垂直的BC方向上取一点C，测得BC＝5米，AC＝13米。求两棵景观树之间的距离。

解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝12米。所以两棵景观树之间的距离为12米。

材料阅读法

阅读下列材料，并完成相应任务。

如图①，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a，b，c，将它们拼成如图②的大正方形。

（1）观察：图②中，大正方形的面积可以用（a＋b）²表示，也可以用含a，b，c的代数式表示为2ab＋c²，那么可以得到等式：（a＋b）²＝2ab＋c²。整理后，得到a，b，c之间的数量关系：a²＋b²＝c²，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边长a，b与斜边长c所满足的关系式。

（2）思考：爱动脑的小明通过图②得到启示，发现其他图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形。（画出一种即可）

解：（2）如图。（答案不唯一）

勾股定理的简单应用

生活中的数学

勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。如图，当秋千AB静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时（即水平距离CD＝4 m），踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（B）。

A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m

实际应用

学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1 m（如图①）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1 m，到旗杆的距离CE为6 m（如图②）。

根据以上信息，求旗杆AB的高度。

解：设AB＝x m，根据题意可得：

绳子的长度为（x＋1）m，CD＝1 m，CE＝6 m。

在Rt△CDE中，由勾股定理得：

DE²＝CD²＋CE²
DE²＝1²＋6²
DE²＝1＋36
DE²＝37
DE＝√37 m

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AD²＝AE²＋DE²
（x＋1）²＝x²＋37
x²＋2x＋1＝x²＋37
2x＝36
x＝18

所以旗杆AB的高度为18 m。