最短路径问题中的造桥选址问题教学设计
最短路径问题中的造桥选址问题教学设计
最短路径问题中的造桥选址问题是一个经典的数学问题，它不仅考验学生的空间想象能力，还要求学生具备将实际问题抽象为数学模型的能力。本文将通过一个具体的教学设计，详细讲解如何引导学生解决这一问题，帮助学生掌握平移等转化方法，最终将问题转化为已知的"两点之间，线段最短"问题。
教学准备
学情分析
本节课以"造桥选址"为背景，开展对"最短路径问题"的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为"两点之间，线段最短"问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
教学工具
学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。"造桥选址"是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
教学设计
教学目标
- 引导学生解决造桥选址问题中的最短路径问题；
- 培养学生的推理化归的能力，化未知问题为已解决问题；
- 通过模型的建立，帮助学生提高分析问题及解决问题的能力。
教学重难点
重点：利用平移将造桥选址问题中的最短路径问题转化为"两点之间，线段最短"问题。
难点：如何利用平移将未知问题：最短路径问题中的造桥选址问题转化为已解决的"两点之间，线段最短"问题。
教学方法
板书设计：
教学过程
学习任务一：情境导入
"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。"这首诗出自唐代诗人李颀的《古从军行》，诗中隐含着一个著名的数学模型：将军饮马之最短路径问题。我们是如何解决将军饮马之最短路径问题的呢？
方法小结：
① 通过轴反射，将直线同侧两点转化为直线异侧两点；
② 利用两点之间线段最短，找出P点的位置。
设计意图：用古人的诗导出将军饮马模型，激发学生的兴趣，让学生初步感知，为引出最短路径问题中的造桥选址问题做铺垫。
学习任务二：造桥选址
生活中除了将军饮马问题中涉及到求最短路径问题，其实还有很多这样的情形，比如说造桥选址。
例题1：如图，A点为浏阳河对面的长沙特色茶颜悦色店，B点为一中双语实验学校，现在要过河去茶颜悦色买奶茶，如果给小明一次设计桥梁的机会，请问桥MN建在何处，使得小明到达茶颜悦色的路径最短？（其中河的两岸是平行的，桥与河垂直）
问题1：这是一个实际问题，我们首先要做什么？
学生：将实际问题抽象为数学问题
追问1：我们可以用一个怎样的几何图形来描述以上问题呢，请同学们画图？
学生画出图5
追问2：请结合几何图形用数学语言来描述这个问题。
模型建立：
如图，直线l1//l2，点M为直线l1上的一个动点，MN ⊥l2，交直线l2于点N，当MN 位于什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
设计意图：让学生学会将实际问题抽象为数学问题，通过建模，将最短路径问题抽象为"线段和最小的问题"，培养学生直观想象，数学抽象，数学建模的核心素养。
学习任务三：合作解决
几何画板上实操，通过动态演示追问学生以下问题
追问3：问题中要求桥梁MN建在何处，可以使最小，移动桥梁的位置，有哪些线段的长度发生了变化呢？
学生：AM、NB
追问4：由于MN是定长，所以要求这三条线段的和最小，实际可以转化成什么问题呢？
学生：求桥MN在何位置时，可以使AM+NB最小。
追问5：那MN在什么位置时，可以使AM+NB最小呢？我们来看一看，线段AM和BN在位置上是怎样一种情况？
学生：没什么特殊的联系，是分散的一种状态
追问6：那么我们能否通过一种位置变换使AM和BN转化为一条折线呢？
学生：小组讨论
追问７：将河岸l2向上平移与河岸l1重合，AM，BN的长度有没有发生改变？是否可以转化为折线问题？
老师制作教具，通过几何画板动态展示，让学生直观的感受问题的转变过程。
追问8：在现实生活中，我们是没办法通过上述平移使桥梁MN消失的，那在桥梁不消失的前提条件下，可否通过平移将桥梁的位置进行转移？
学生先自行思考并作图，请同学上台展示，并借助信息技术手段，通过微课，让学生直观感受问题的化归过程。
设计意图：通过平移，实现未知问题向已解决问题的转化：最短路径问题中的造桥选址问题转化为已解决的"两点之间，线段最短"问题。通过层层问题的递进设计，降低问题的难度，渗透转化思想，提高学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理的数学学科核心素养。
学习任务四：拓展延伸
如图，线段MN为直线l上一条运动的线段，且MN长度为定值，从定点A到M经过MN再到定点B,怎样确定MN的位置能使所走的路线AM+MN+NB最短?
几何画板动态演示 微课讲解
设计意图：拓展延伸，实际上是通过平移的方法，构造将军饮马模型，是转化思想的深层渗透。意在让学生真正的学有所获，拓展学生的思维能力，以及提高学生分析问题、解决问题的能力。
学习任务五：课堂小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
模型建立：如图，直线l1//l2，点M为直线l1上的一个动点，MN ⊥l2，交直线l2于点N，当MN 位于什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
解决方法：①通过平移，构造直线异侧两点的模型；
②利用"两点之间，线段最短"化折为直。
（2）平移在所研究问题中起什么作用？
学生：转化的作用，通过平移，改变三折线的位置关系，构造了直线异侧两点的折线模型。
设计意图：锻炼学生的胆量，给学生展示的机会，培养学生归纳概括的语言表达能力。