二进制：计算机编程的基础
二进制：计算机编程的基础
二进制是计算机科学的基础，理解二进制对于学习编程至关重要。本文将从人类计数的发展史出发，深入浅出地介绍二进制的概念、原理及其在计算机编程中的应用。
什么是二进制计数法？
为了更好地理解二进制计数法，我们先来简单回顾一下人类计数的发展史。
- 原始时代，人类用路边的小石子来统计放牧归来的羊只数量，这表明我们很早就产生了计数的意识。
- 后来，罗马人用手指作为计数的工具，并在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数量。表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形等等。
- 公元3世纪左右，印度数学家（也有说法是阿拉伯人）发明了阿拉伯数字。阿拉伯数字由从0到9这10个计数符号组成，并采取进位制法，高位在左，低位在右，从左往右书写。由于阿拉伯数字本身笔画简单，演算便利，因此它们逐渐在各国流行起来，成为世界通用的数字。
日常生活中，我们广泛使用的十进制计数法，也是基于阿拉伯数字的。这也是十进制计数法的基础。因此，相对其他计数方法，十进制最容易被我们所理解。
让我们来观察一个数字：2871。
其中^表示幂或次方运算。十进制的数位（千位、百位、十位等）全部都是10^n的形式。需要特别注意的是，任何非0数字的0次方均为1。在这个新的表示式里，10被称为十进制计数法的基数，也是十进制中“十”的由来。这个我想你应该好理解，因为这和我们日常生活的习惯是统一的。
明白了十进制，我们再试着用类似的思路来理解二进制的定义。我以二进制数字110101为例，解释给你听。我们先来看，这里110101究竟代表了十进制中的数字几呢？
刚才我们说了，十进制计数是使用10作为基数，那么二进制就是使用2作为基数，类比过来，二进制的数位就是2^n的形式。如果需要将这个数字转化为人们易于理解的十进制，我们就可以这样来计算：
按照这个思路，我们还可以推导出八进制（以8为基数）、十六进制（以16为基数）等等计数法，很简单，在这里就不赘述了。
至此，你应该已经理解了什么是二进制。但是仅有数学的理论知识是不够的，结合相关的代码实践，相信你会有更深刻的印象。
计算机为什么使用二进制？
我觉得，计算机使用二进制和现代计算机系统的硬件实现有关。组成计算机系统的逻辑电路通常只有两个状态，即开关的接通与断开。
断开的状态我们用“0”来表示，接通的状态用“1”来表示。由于每位数据只有断开与接通两种状态，所以即便系统受到一定程度的干扰时，它仍然能够可靠地分辨出数字是“0”还是“1”。因此，在具体的系统实现中，二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点。
相比之下，如果用十进制设计具有10种状态的电路，情况就会非常复杂，判断状态的时候出错的几率就会大大提高。
另外，二进制也非常适合逻辑运算。逻辑运算中的“真”和“假”，正好与二进制的“0”和“1”两个数字相对应。逻辑运算中的加法（“或”运算）、乘法（“与”运算）以及否定（“非”运算）都可以通过“0”和“1”的加法、乘法和减法来实现。
二进制的位操作
了解了现代计算机是基于二进制的，我们就来看看，计算机语言中针对二进制的位操作。这里的位操作，也叫作位运算，就是直接对内存中的二进制位进行操作。常见的二进制位操作包括向左移位和向右移位的移位操作，以及“或”“与”“异或”的逻辑操作。下面我们一一来看。
向左移位
我们先来看向左移位。
二进制110101向左移一位，就是在末尾添加一位0，因此110101就变成了1101010。请注意，这里讨论的是数字没有溢出的情况。
所谓数字溢出，就是二进制数的位数超过了系统所指定的位数。目前主流的系统都支持至少32位的整型数字，而1101010远未超过32位，所以不会溢出。如果进行左移操作的二进制已经超出了32位，左移后数字就会溢出，需要将溢出的位数去除。
在这个例子中，如果将1101010换算为十进制，就是106，你有没有发现，106正好是53的2倍。所以，我们可以得出一个结论：二进制左移一位，其实就是将数字翻倍。
向右移位
接下来我们来看向右移位。
二进制110101向右移一位，就是去除末尾的那一位，因此110101就变成了11010（最前面的0可以省略）。我们将11010换算为十进制，就是26，正好是53除以2的整数商。所以二进制右移一位，就是将数字除以2并求整数商的操作。
位的“或”
我们刚才说了，二进制的“1”和“0”分别对应逻辑中的“真”和“假”，因此可以针对位进行逻辑操作。
逻辑“或”的意思是，参与操作的位中只要有一个位是1，那么最终结果就是1，也就是“真”。如果我们将二进制110101和100011的每一位对齐，进行按位的“或”操作，就会得到110111。
位的“与”
同理，我们也可以针对位进行逻辑“与”的操作。“与”的意思是，参与操作的位中必须全都是1，那么最终结果才是1（真），否则就为0（假）。如果我们将二进制110101和100011的每一位对齐，进行按位的“与”操作，就会得到100001。
位的“异或”
逻辑“异或”和“或”有所不同，它具有排异性，也就是说如果参与操作的位相同，那么最终结果就为0（假），否则为1（真）。所以，如果要得到1，参与操作的两个位必须不同，这就是此处“异”的含义。我们将二进制110101和100011的每一位对齐，进行按位的“异或”操作，可以得到结果是10110。
总结一下，“异或”操作的本质其实就是，所有数值和自身进行按位的“异或”操作之后都为0。而且要通过“异或”操作得到0，也必须通过两个相同的数值进行按位“异或”。这表明了两个数值按位“异或”结果为0，是这两个数值相等的必要充分条件，可以作为判断两个变量是否相等的条件。
小结
今天我们聊了二进制，你可能会问：学习二进制究竟有什么用呢？平时的编程中，我们好像并没有使用相关的知识啊？确实，目前的高级语言可以帮助我们将人类的思维逻辑转换为使用0和1的机器语言，我们不用再为此操心了。但是，二进制作为现代计算机体系的基石，这些基础的概念和操作，你一定要非常了解。
二进制贯穿在很多常用的概念和思想中，例如逻辑判断、二分法、二叉树等等。逻辑判断中的真假值就是用二进制的1和0来表示的；二分法和二叉树都是把要处理的问题一分为二，正好也可以通过二进制的1和0来表示。因此，理解了二进制，你就能更加容易地理解很多计算机的数据结构和算法，也为我们后面的学习打下基础。
思考题
如果不使用Java语言自带的BigInteger类，我们还有什么方法来实现十进制到二进制的转换呢？（提示：可以使用二进制的移位和按位逻辑操作来实现。）