导数公式大全及基本性质

导数公式大全及基本性质

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导数是微积分学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。掌握导数的基本公式和性质，是学习微积分和解决实际问题的基础。本文将为你详细介绍导数的基本公式和性质，帮助你更好地理解这一重要概念。

导数公式汇总

导数公式大全包括但不限于以下内容：

基本函数导数

• 常数导数：$y=c$ ($c$为常数) 的导数为 $y'=0$。
• 幂函数导数：$y=x^n$ 的导数为 $y'=nx^{n-1}$。
• 指数函数导数：$y=a^x$ 的导数为 $y'=a^x\ln a$。
• 对数函数导数：$y=\log_a(x)$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x\ln a}$，$y=\ln x$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x}$。

三角函数导数

• $y=\sin x$ 的导数为 $y'=\cos x$
• $y=\cos x$ 的导数为 $y'=-\sin x$
• $y=\tan x$ 的导数为 $y'=\frac{1}{\cos^2 x}$
• $y=\cot x$ 的导数为 $y'=-\frac{1}{\sin^2 x}$

反三角函数导数

• $y=\arcsin x$ 的导数为 $y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $y=\arccos x$ 的导数为 $y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $y=\arctan x$ 的导数为 $y'=\frac{1}{1+x^2}$
• $y=\arccot x$ 的导数为 $y'=-\frac{1}{1+x^2}$

导数的运算法则

• 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + g'(x)\cdot f(x)$
• 除法法则：$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x)\cdot f(x)}{g(x)^2}$
• 商的导数：$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

导数的基本性质

1. 单调性：

• 若导数大于零，则函数单调递增；
• 若导数小于零，则函数单调递减；
• 导数等于零的点称为函数的驻点，不一定为极值点。需要通过判断驻点左右两边的导数正负来确定函数的单调性。

2. 凹凸性：

• 可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
• 如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断：
• 若二阶导数恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的；
• 若二阶导数恒小于零，则这个区间上函数是向上凸的。
• 曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

掌握这些基本公式和性质，是学习微积分和解决实际问题的基础。希望本文能帮助你更好地理解导数的概念和计算方法。