派克变换的推导及其矩阵运算结论
派克变换的推导及其矩阵运算结论
派克变换（Park Transformation）是电机控制领域中一个重要的数学工具，主要用于将三相静止坐标系（abc坐标系）下的电气量转换到两相旋转坐标系（dq坐标系）下，以便于分析和控制。本文详细推导了派克变换的数学过程，并给出了相关的矩阵运算结论，对于电机控制领域的工程师和技术人员具有重要的参考价值。
派克变换推导
dq坐标系和abc坐标系的关系
设空间矢量在abc坐标系的投影分别为：
$$
\left{
\begin{array}{l}
i_{\mathrm{a}}(t)=I_{\mathrm{m}}(t) \cos \alpha(t) \
i_{\mathrm{b}}(t)=I_{\mathrm{m}}(t) \cos [\alpha(t)-2 \pi / 3] \
i_{\mathrm{c}}(t)=I_{\mathrm{m}}(t) \cos [\alpha(t)+2 \pi / 3]
\end{array}
\right.
$$
当存在一个旋转的dq坐标系如图所示时，可得空间矢量Im在d、q坐标轴的投影为：
$$
\left{
\begin{array}{l}
i_{\mathrm{d}}(t)=I_{\mathrm{m}} \cos (\alpha-\theta)=I_{\mathrm{m}} \cos \alpha \cos \theta+I_{\mathrm{m}} \sin \alpha \sin \theta \
i_{\mathrm{q}}(t)=I_{\mathrm{m}} \sin (\alpha-\theta)=I_{\mathrm{m}} \sin \alpha \cos \theta-I_{\mathrm{m}} \cos \alpha \sin \theta
\end{array}
\right.
$$
因为：
$$
\cos(x) \cos(y) + \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(y - \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(y + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \cos(x - y)
$$
$$
\sin(x) \cos(y) + \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(y - \frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(y + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} \sin(x - y)
$$
运用上述结论，因此可得出：
$$
\begin{aligned}
& \cos (\alpha-\theta)=\frac{2}{3}\left[\cos \alpha \cos \theta+\cos \left(\alpha-\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\theta-\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(\alpha+\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)\right] \
& \sin (\alpha-\theta)=\frac{2}{3}\left[\sin \alpha \cos \theta+\sin \left(\alpha-\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\theta-\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\alpha+\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)\right]
\end{aligned}
$$
根据图可得出下面的结论：
$$
\left{
\begin{array}{l}
i_{\mathrm{a}}(t)=I_{\mathrm{m}}(t) \cos \alpha(t) \
i_{\mathrm{b}}(t)-i_{\mathrm{c}}(t)=\sqrt{3} I_{\mathrm{m}}(t) \sin \alpha(t)
\end{array}
\right.
$$
$$
\left{
\begin{array}{l}
i_{\mathrm{d}}(t)=i_{\mathrm{a}} \cos \theta+\frac{i_{\mathrm{b}}-i_{\mathrm{c}}}{\sqrt{3}} \sin \theta=\frac{2}{3}\left[i_{\mathrm{a}} \cos \theta+i_{\mathrm{b}} \cos (\theta-2 \pi / 3)+i_{\mathrm{c}} \cos (\theta+2 \pi / 3)\right] \
i_{\mathrm{q}}(t)=\frac{i_{\mathrm{b}}-i_{\mathrm{c}}}{\sqrt{3}} \cos \theta-i_{\mathrm{a}} \sin \theta=-\frac{2}{3}\left[i_{\mathrm{a}} \sin \theta+i_{\mathrm{b}} \sin (\theta-2 \pi / 3)+i_{\mathrm{c}} \sin (\theta+2 \pi / 3)\right]
\end{array}
\right.
$$
$$
\left{
\begin{array}{l}
\frac{2}{3} i_0[\cos \theta+\cos (\theta-2 \pi / 3)+\cos (\theta+2 \pi / 3)]=0 \
\frac{2}{3} i_0[\sin \theta+\sin (\theta-2 \pi / 3)+\sin (\theta+2 \pi / 3)]=0
\end{array}
\right.
$$
$$
\left{
\begin{array}{l}
i_{\mathrm{d}}=\frac{2}{3}\left[i_{\mathrm{a}} \cos \theta+i_{\mathrm{b}} \cos (\theta-2 \pi / 3)+i_{\mathrm{c}} \cos (\theta+2 \pi / 3)\right] \
i_{\mathrm{q}}=-\frac{2}{3}\left[i_{\mathrm{a}} \sin \theta+i_{\mathrm{b}} \sin (\theta-2 \pi / 3)+i_{\mathrm{c}} \sin (\theta+2 \pi / 3)\right]
\end{array}
\right.
$$
考虑到：
$$
i_0=\frac{1}{3}\left(i_{\mathrm{a}}+i_{\mathrm{b}}+i_{\mathrm{c}}\right)
$$
因此派克正变换（等幅值）矩阵可写成：
$$
\boldsymbol{P}=\frac{2}{3}\left[
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & \cos (\theta-2 \pi / 3) & \cos (\theta+2 \pi / 3) \
-\sin \theta & -\sin (\theta-2 \pi / 3) & -\sin (\theta+2 \pi / 3) \
1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2
\end{array}
\right] \quad|\boldsymbol{P}| \neq 0
$$
派克反变换（等幅值派克变换的逆矩阵）
$$
\boldsymbol{P}^{-1}=\left[
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 1 \
\cos (\theta-2 \pi / 3) & -\sin (\theta-2 \pi / 3) & 1 \
\cos (\theta+2 \pi / 3) & -\sin (\theta+2 \pi / 3) & 1
\end{array}
\right]
$$
上述系数矩阵称为Park变换。它将定子a、b、c绕组中的电流变换为转子d、q绕组中流过的电流id、iq以及一个零轴。
派克变换的一些计算结论
θ=ωt，对于派克变换矩阵计算的一些结论：
$$
\dot{\boldsymbol{P}} \boldsymbol{P}^{-1}=\left[
\begin{array}{ccc}
0 & \omega & 0 \
-\omega & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
$$
$$
\boldsymbol{P} \dot{\boldsymbol{P}}^{-1}=\left[
\begin{array}{ccc}
0 & -\omega & 0 \
\omega & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
$$
下面是验证的代码，可自行运行
%% 求矩阵
syms t omega real
theta = omega * t;
% 定义矩阵 P
P = 2/3*[cos(theta), cos(theta-2*pi/3), cos(theta+2*pi/3);
-sin(theta), -sin(theta-2*pi/3), -sin(theta+2*pi/3);
1/2, 1/2, 1/2];
P_inv = [cos(theta), -sin(theta), 1;
cos(theta-2*pi/3), -sin(theta-2*pi/3), 1;
cos(theta+2*pi/3), -sin(theta+2*pi/3), 1];
% 对矩阵 P 关于 t 求导
P_dot = diff(P, t);
P_inv_dot=diff(P_inv, t);
P_dot = simplify(P_dot);
% 化简
disp('P_dot*P^-1');
disp(simplify(P_dot*P_inv));
% 化简
disp('P*P_inv_dot');
disp(simplify(P*P_inv_dot));
代码运行结果
P_dot*P^-1
[ 0, omega, 0]
[-omega, 0, 0]
[ 0, 0, 0]
P*P_inv_dot
[ 0, -omega, 0]
[omega, 0, 0]
[ 0, 0, 0]
这个在进行微分运算的时候会用到的结论。
计算可能使用到的结论
还有一些结论在进行派克计算也可能会用到
$$
-\sin(x) \cos(x) - \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) - \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 0
$$
$$
-\cos(x) \cos(x) - \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{3}{2}
$$
$$
\sin(x) \sin(x) + \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}
$$
$$
\sin(x) \cos(x) + \sin\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 0
$$