智能优化算法之蝙蝠算法BA
智能优化算法之蝙蝠算法BA
优化算法是一类旨在寻找问题最优解的算法，通过迭代地调整候选解，以期找到最优或接近最优的解。优化问题在许多领域中普遍存在，如工程设计、经济规划、机器学习等。优化算法可以分为许多种类，如启发式算法、精确算法和元启发式算法等。
蝙蝠优化算法的介绍
蝙蝠优化算法（Bat Algorithm, BA）是一种基于蝙蝠回声定位行为的元启发式算法，由Xin-She Yang在2010年提出。该算法模仿了蝙蝠通过回声定位找到猎物或避开障碍物的机制，以解决优化问题。蝙蝠算法因其简单性和有效性在许多优化问题中得到了广泛应用。
蝙蝠算法的发展历史
蝙蝠优化算法自2010年提出以来，在学术界和工业界受到了广泛关注。研究者们对该算法进行了大量改进和扩展，如自适应蝙蝠算法、量子蝙蝠算法、多目标蝙蝠算法等。这些改进增强了蝙蝠算法的性能，使其在更广泛的应用场景中发挥作用。
数学原理
从实现的角度来看，蝙蝠的运动受两种飞行模式的控制。第一种模式（我们可以称之为全局步长）是引导飞行模式，在这种模式下，所有蝙蝠都会朝着位置最好的蝙蝠飞行（即具有最佳适应度值的解）。因此，对于在d维搜索空间中位置为$x_i$、速度为$v_i$的第i只蝙蝠，更新其位置（解）和速度的规则如下：
公式（1）
$f_i = f_{\min} + (f_{\max} - f_{\min}) \beta$
公式（2）
$v_{i}^{t+1} = v_{i}^{t} + (x^* - x_{i}^{t}) f_i$
公式（3）
$x_{i}^{t+1} = x_{i}^{t} + v_{i}^{t+1}$
其中，$\beta \in [0,1]$是从均匀分布中抽取的随机向量，$x^*$是目前找到的全局最优解（最佳蝙蝠的位置）。从公式(2)可以看出，蝙蝠的运动受到最佳蝙蝠的信息的影响。通过将蝙蝠引导到最佳蝙蝠位置，它们可以利用已有的信息寻求更好的解决方案。
第二种飞行模式是我们称之为局部搜索步长。每只蝙蝠的新位置是通过以下更新公式在局部生成的：
公式（4）
$x_{\text{new}} = x_{\text{old}} + \epsilon \langle A_{i}^{t+1} \rangle$
其中，$\epsilon \in [-1,1]$是一个随机数，而$\langle A_{i}^{t+1} \rangle$是时刻t时所有蝙蝠的平均响度。
通过调节两个参数，即响度$A_i$和脉冲发射率$r_i$（或脉冲率），可以实现第一和第二种飞行模式的自动切换。这些参数在迭代过程中更新，随着蝙蝠接近猎物，响度减少而脉冲率增加。更新响度和脉冲率的公式为：
公式（5）
$A_{i}^{t+1} = \alpha A_{i}^{t}$
公式（6）
$r_{i}^{t+1} = r_{i}^{0} [1 - \exp(-\gamma t)]$
其中，$0 < \alpha < 1$且$\gamma > 0$为常数。当$t \to \infty$时，$A_{i}^{t} \to 0$且$r_{i}^{t} \to r_{i}^{0}$。杨[1]提出，初始响度$A_0$可以取$A_0 \in [1, 2]$，而初始脉冲率$r_0$可以取$r_0 \in [0, 1]$。标准蝙蝠算法的伪代码如下所示：
算法1. 标准蝙蝠算法
- 定义目标函数
- 初始化蝙蝠种群$L_i \leq x_i \leq U_i$（$i=1,2,\ldots,n$）和$v_i$
- 定义频率$f_i$在$x_i$处
- 初始化脉冲率$r_i$和响度$A_i$
- 当$t \leq t_{\max}$时
- 调整频率，见公式(1)
- 更新速度，见公式(2)
- 更新位置/解，见公式(3)
- 如果（rand > $r_i$）
- 在选定的最优解附近生成一个局部解，见公式(4)
- 结束如果
- 如果（rand < $A_i$ 且 $F(x_i) < F(x^*)$）
- 接受新解
- 减少$A_i$，见公式(5)
- 增加$r_i$，见公式(6)
- 结束如果
- 对蝙蝠进行排名并找到当前最优解$x^*$
- 结束循环
- 结果处理
应用领域和场景
蝙蝠算法已广泛应用于优化、分类、图像处理、特征选择、调度和数据挖掘等众多领域：
- 工程优化：结构设计、网络设计、交通规划
- 机器学习：参数优化、特征选择
- 数据挖掘：聚类分析、分类问题
- 图像处理：图像分割、图像增强
基于Python的可视化算法实例
以下是一个基于Python的简单蝙蝠算法实现和可视化的示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 定义egg crate函数
def f(x, y):
z = x**2 + y**2 + 25 * (np.sin(x)**2 + np.sin(y)**2)
return z
# 绘制3D图形
grafik = plt.figure()
sumbu = plt.axes(projection='3d')
x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 25)
y = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 25)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)
sumbu.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')
plt.show()
# 主函数
def main():
print('Bat Algorithm')
print('-------------------------')
algokelelawar()
# 蝙蝠算法实现
def algokelelawar(n=10, A=0.25, r=0.5):
# 参数初始化
Qmin = 0 # 最低频率
Qmax = 2 # 最高频率
tol = 10**-5 # 容差极限
N_iter = 0 # 迭代次数
d = 2 # 维度
# 初始化数组
Q = np.zeros(n) # 每只蝙蝠的频率
v = np.zeros((n, d)) # 每只蝙蝠的速度
Sol = np.random.uniform(-5, 5, (n, d)) # 每只蝙蝠的位置
S = np.zeros((n, d)) # 临时位置
Fitness = np.apply_along_axis(lambda x: f(x[0], x[1]), 1, Sol) # 每只蝙蝠的适应度
fmin = np.min(Fitness) # 最小适应度
best = Sol[np.argmin(Fitness)] # 最佳位置
# 蝙蝠算法应用
while fmin > tol and N_iter < 1000: # 防止死循环，增加迭代上限
for i in range(n):
beta = np.random.rand()
Q[i] = Qmin + (Qmax - Qmin) * beta
v[i, :] = v[i, :] + (Sol[i, :] - best) * Q[i]
S[i, :] = Sol[i, :] + v[i, :]
# 脉冲率效应
alpha = 0.01
if np.random.rand() > r:
S[i, :] = best + alpha * np.random.randn(1, d)
# 计算新解
Fnew = f(S[i, 0], S[i, 1])
x = S[i, 0]
y = S[i, 1]
# 如果新解更优且响度减小
if Fnew <= Fitness[i] and np.random.rand() < A:
Fitness[i] = Fnew
Sol[i, :] = S[i, :]
# 更新最小适应度和最佳位置
if Fnew < fmin:
best = S[i, :]
fmin = Fnew
N_iter += 1
# 打印结果
print('Number of iterations =', N_iter)
print('Best Position =', best)
print('Lowest test function =', fmin)
print('\nThe final position of all bats =')
for i in range(n):
print(i + 1, Sol[i, :])
if __name__ == "__main__":
main()
从输出结果来看，蝙蝠算法在执行过程中运行了240次迭代，最终找到了一个最优解。最佳位置为
$[2.94735435e-04, -8.60707579e-05]$
。这个位置是算法在搜索空间中找到的，使目标函数值最小的点。这些位置的分布情况表明蝙蝠算法在大多数情况下都有效地收敛到目标函数的极小值附近。最优位置的函数值非常低，说明算法的效果很好。整体来看，这表明蝙蝠算法在egg crate函数上的应用成功地找到了接近最优解的位置。
蝙蝠优化算法是一种简单而有效的元启发式优化算法，其灵感来源于蝙蝠的回声定位行为。该算法在许多实际应用中表现出色，且易于实现和扩展。希望通过本文的介绍，您能对蝙蝠优化算法有一个全面的了解，并能在实际问题中加以应用。
参考资料：Nature-Inspired Algorithms and Applied Optimization。
https://medium.com/it-paragon/bat-algorithm-bad-algorithm-b26ae42da8e1