欧拉公式推导

欧拉公式推导

引用

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1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/2rYyeeOvib3.html

欧拉公式是数学中一个重要的公式，它建立了指数函数和三角函数之间的联系。这个公式不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也有着重要的作用。本文将详细介绍欧拉公式的推导过程。

1. 欧拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

2. e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix.（±i)^2=-1，(±i)^3=？i，(±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……）所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0。