子集类上生成的最小σ-代数

子集类上生成的最小σ-代数

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/AdamCY888/article/details/142344033

在数学和概率论中，σ-代数是一个重要的概念，它定义了一个集合族，满足特定的封闭性条件。本文将详细讨论如何基于一组两两不交的集合E生成最小σ-代数，并通过严格的数学推导证明其性质。

要求 (\sigma(\mathfrak{E}))，我们需要找到 (\mathfrak{E}) 生成的最小 (\sigma)-代数。根据定义，(\sigma)-代数是一个集族，满足以下条件：

1. 包含全集 (\Omega)。
2. 对于任意集合 (A) 属于该集族，补集 (A^c) 也属于该集族。
3. 对于任意可数个集合 (A_1, A_2, \ldots) 属于该集族，它们的并集 (\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) 也属于该集族。

1. 包含全集

由于 (\mathfrak{E} = {A_k}) 是一组两两不交的集合，且可以构造出它们的并：

[
\bigcup_{k=0}^{\infty} A_k = \Omega,
]

因此 (\sigma(\mathfrak{E})) 包含全集 (\Omega)。

2. 补集

对于任意集合 (A_k \in \mathfrak{E})，它的补集 (A_k^c) 在 (\sigma)-代数中需要包含。

• 由于 (\mathfrak{E}) 仅包含不交的集合，它们的补集将包含在 (\Omega) 中，实际上 (A_k^c) 可以表示为：

[
A_k^c = \Omega \setminus A_k = \bigcup_{j \neq k} A_j .
]

因此，(\sigma(\mathfrak{E})) 包含所有 (A_k^c)。

3. 可数并

对于任意可数个集合 (A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots) 属于 (\mathfrak{E})，由于这些集合是两两不交的，它们的并集可以表示为：

[
\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{i_j}.
]

由于不交性，这个并集在 (\sigma(\mathfrak{E})) 中。

4. 综合

因此，(\sigma(\mathfrak{E})) 包含：

• 所有的 (A_k)；
• 所有的 (A_k^c)；
• 所有的可数并集 (\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{i_j})。

综合上述，可以得出：

[
\sigma(\mathfrak{E}) = \left{ \bigcup_{k \in I} A_k : I \subseteq \mathbb{N} \text{，且 } A_k \in \mathfrak{E} \text{，包括 } \emptyset \text{ 和 } \Omega \right}.
]

实际上，(\sigma(\mathfrak{E})) 包含了所有可以通过有限或可数次并、补集操作得到的集合。由于原始集合是两两不交的，因此 (\sigma(\mathfrak{E})) 可以视为所有这些集合的并的集合。

结论

最终结果为：

[
\sigma(\mathfrak{E}) = \left{ \bigcup_{k \in I} A_k : I \subseteq \mathbb{N} \right} \cup {\emptyset, \Omega}.
]

这就是由 (\mathfrak{E}) 生成的最小 (\sigma)-代数。