【动态规划算法题记录】70. 爬楼梯——递归/动态规划

【动态规划算法题记录】70. 爬楼梯——递归/动态规划

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_43627638/article/details/139657405

本文将通过一个经典的算法题目——“爬楼梯”，来讲解递归和动态规划两种解题方法。这个问题看似简单，但其中蕴含的算法思想却非常深刻，是算法学习和面试准备中不可或缺的一部分。

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬1 或 2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

题目分析

递归法（超出时间限制）

1. 递归参数与返回值

   void reversal(int i, int k)

   每次我们处理第i个台阶到第k个台阶之间的可能性。这里我把结果

   int cnt

   放在类成员中了，所以直接在函数中进行处理，不用返回。

2. 递归终止条件

   当我们处理到最上面的台阶了，也就是

   reversal(n, n)

   就可以结束当前递归。

3. 单层递归逻辑

   单层递归中，我们再将区间

   (i, k)

   细分下去：因为我们每次只能上一级或两级台阶，并且上了台阶之后才能处理更高层的范围，所以在缩小范围时，我们针对的是区间的左边。也就是：

   for(int j = 1; j <= (k-i) && j <=2; j++){
       reversal(i+j, k);
   }
   

   其中，j就是我们上台阶的可能性，它的取值要小于等于2且不能超过区间的大小。

   最终的cpp递归代码：

   class Solution {
   private:
       int cnt;
   public:
       void reversal(int i, int k){    // 在第i个台阶到第k个台阶之间做决策
           // 递归终止条件：已经到最上面的台阶，cnt加一并返回
           if(i == k){
               cnt++;
               return;
           }
           // 单层递归：从第i个台阶到第k个台阶的可能性
           // j在这里代表是上几个台阶
           for(int j = 1; j <= (k-i) && j <=2; j++){
               reversal(i+j, k);
           }
       }
       int climbStairs(int n) {
           cnt = 0;
           reversal(0, n);
           return cnt;
       }
   };
   

动态规划

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]：爬到第i级台阶的方法数量。

2. 确定递推公式

   dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

   因为我们只有两种上楼梯的方法，也即上一级台阶或两级台阶。试想：

• 我们上到第i-1级台阶时，共有d[i-1]种方法，再上一级则到达第i级台阶；

• 我们上到第i-2级台阶时，共有d[i-2]种方法，再上两级则到达第i级台阶；

  上到第i级台阶也就两种情况，从第i-1级台阶再上一级，或是从第i-2级台阶再上两级，那么我们上到第i级台阶的方法不就是dp[i-1] + dp[i-2]。这也说明了每一级台阶的状态是由前面两级台阶决定的。

3. dp数组初始化

   dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

   因为第0级台阶不存在，所以我们不必纠结dp[0]的值到底如何初始化。

4. 确定遍历顺序

   因为dp[i]是由它的前两个数决定，所以我们只能从前往后去遍历。

5. 举例推导dp数组

   例如当n=5：

   dp[1]=1;
dp[2]=2;
dp[3] = dp[2] + dp[1] = 3;
dp[4] = dp[3] + dp[2] = 5;
dp[5] = dp[4] + dp[3] = 8;

   动态规划的cpp代码：

   class Solution {
   public:
       int climbStairs(int n) {
           if(n < 3) return n;
           // 确定dp数组以及下标含义
           vector<int> dp(n+1); //dp[i]是到达第i阶楼梯的方法总数
           
           // 初始化
           dp[1] = 1;
           dp[2] = 2;
           
           // 推导
           for(int i = 3; i <= n; i++){
               dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
           }
           return dp[n];
       }
   };