如何理解数学中的梯度(图文版)

如何理解数学中的梯度(图文版)

梯度（tī dù）中文意思为坡度。在数学中，它也是坡度，不过是最陡的那个坡的坡度。严格说：梯度是一个向量，其方向为变化最快的那个方向，其大小就是那个方向的变化率。

1 梯度的表达式

由于在数学中，表示描述一个方向上的变化率，用的是方向导数。那么根据前面所说，梯度的值就应该是所有方向导数中的最大者。

定理：如果函数在点可微分，那么函数在该点沿任意方向的方向导数存在。设的单位方向向量，则有：

证明：因为函数在点可微分，所以有：

若在以点为起点、方向为的射线上时，有：

结合上方向导数的定义，所以：

上面的定理说明，在可微的情况下，我们可以得到方向导数是偏导数的线性组合。其中下标位置的是这个点的位置。而和分别为两个偏导数与方向向量的夹角。

可微分时方向导数的计算方法可改写如下：

改写后，可以看出方向导数是 在上的投影。则，当两者不断靠拢时，投影就不会不断变大。而当与同向时，所得投影获得最大值。

在我们已经知道了梯度的定义后，就会发现，函数在方向上的方向导数。它就应该等于，梯度在其方向向量上的投影。

而这里的，反映在图像上。就是梯度与方向向量的夹角。这样我们就知道：

• 时，即方向与梯度相同时，或者说沿着梯度方向时，方向导数取得最大值：

• 时，即方向与梯度相反时，或者说逆着梯度方向时，方向导数取得最小值：

• 时，即方向与梯度正交时，方向导数为：

3 用梯度表示所有的方向导数

根据这个理论，我们可以做出某二元函数在(0,0)点处，所有的方向导数。其中蓝色向量的模长，表示其所在方向的方向导数，红色向量，为函数在此点处的梯度。