理解函数的满射和双射
理解函数的满射和双射
函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的映射关系。在函数的众多性质中，单射、满射和双射是最为重要的三种。本文将从集合映射的角度，深入浅出地介绍这三种函数类型。
函数的本质是集合的映射关系
通俗地讲，函数是把1个集合A的元素映射到另1个集合B的配对方法。
注意，上图的集合A也可以理解为函数的定义域，但是B并不能理解为值域，而是应该是陪域（值域⊆陪域）。
集合B中可以有额外的元素没有被A的元素所对应。
函数集合A中的元素不能对应多个B中的元素
很简单，因为函数的性质有：
∀x=x2→f(x)=f(x2)
同1个输入不能允许有多个不同的输出值。
下图的集合关系不是1个函数。
单射函数(Injective Function)
数学式定义：
f(x)=f(x2)⟺x=x2
集合定义：
单射的意思是A的每个元素都有它独有的在B的相对元素。
例如：下面的集合关系，就是代表1个单射函数。
如果有多个不同A的元素指向同1个B的元素，那么它就不是单射函数。
这里已经隐隐约约可以看出，单射函数是具有反函数的其中1个必要条件（并不是充分哦）。
常见的单射函数有：
f(x)=2x+1,x∈R
f(x)=x3，x∈R
等等
非单射函数有：
f(x)=x2
f(x)=sin(x),x∈R
等等
注意，虽然f(x)=sin(x),x∈R是非单射函数，但是如果我们调整下定义域，
f(x)=sin(x),x∈(−π,π]注意这里−π是不在定义域内的
那么就变成了1个单射函数了。
满射函数(Surjective Function)
满射的集合定义：
函数f（从集合A到集合B），当且仅当B中的每1个元素，至少在集合A有1个对应关系的元素。
例如下面的集合关系就是1个满射函数。
而下面的集合关系是1个非满射函数，B中多了1个看起来多余的元素。
满射的陪域定义
由我之前介绍陪域的文章可知，陪域并不是值域，而是值域的1个超集。
对于函数定义的集合A和集合B，其实集合B就是陪域。
所以满射函数离不开陪域的定义。
另1个定义：
如果1个函数的陪域等与值域，那么这个函数是满射函数，反之亦然。
满射的数学式定义
通常我们定义1个有明确数学式的函数，都是只包括数学式和定义域。
但是如果定义1个满射函数的话，往往需要带上陪域的定义。
例如下面的函数是1个满射函数：
f:R−>(0,+∞],f(x)=2x
这里的定义已经包括了定义域R和陪域(0,+∞]。
但是，如果我们把陪域定义为R的话，它就不是1个满射函数：
f:R−>R,f(x)=2x
因为陪域中的负数没有x可以对应。
也就是讲，如果我们想要描述1个函数的满射性质，就需要带入陪域。
满射的正式定义：
∀b∈B,∃a∈A→f(a)=b
这里的∃是存在（至少存在1个）的意思。
那f:A->B是1个满射函数，反之依然。
这里也隐隐觉得满射函数也是1个函数具有反函数的必要条件。
双射函数(One-to-One Correspondence)
单射函数和满射函数并不是互相排斥的。
例如下面集合关系是单射函数但是不是满射函数。
而下面这个集合关系是满射函数而非单射函数。
而下面这个函数关系不是单射函数，也不是满射函数。
最后一种情况，既是单射函数，又是满射函数。
而同时是单射和满射的函数，就是所谓的双射函数，这时定义域和陪域的元素one-one对应。
所以双射函数也叫One-to-One Correspondence一一对应函数。
双射函数就是1个函数具有反函数的充要条件了！