偶极子天线场强分布与能量传输特性分析
偶极子天线场强分布与能量传输特性分析
偶极子天线是无线通信系统中最基本的天线类型之一，其工作原理和场强分布特性一直是电磁学研究的重要内容。本文将从数学角度深入分析偶极子天线在不同场区（近场和远场）的场强分布和能量传输特点，帮助读者全面理解这一经典天线的工作原理。
偶极子的一般示意图
感应近场区（kr≪1）
首先讨论感应近场区的情况，其一般表达式为：
$$
Er=-j\eta I_0 \frac{4(kr)^2}{r} \cos(\theta) \
E_{\theta}=-j\eta I_0 \frac{8(kr)^2}{r} \sin(\theta) \
H_{\phi}=\frac{I_0}{4} \frac{k}{r^2} \sin(\theta)
$$
在波长和电流分布取有限值的情况下，上述表达式的结果有：
- $E_r \gg 1$，最大值取在 $\theta=0$ 处，即直角坐标系下的 $+z$ 轴方向。
- $E_{\theta} \gg 1$，最大值取在 $\theta=90^\circ$ 处，即直角坐标系下的 $xy$ 平面内。
- $H_{\phi} \gg 1$，最大值取在 $\theta=90^\circ$ 处，即直角坐标系下的 $xy$ 平面内。
在感应近场区，径向分量 $E_r$ 的幅度比切向分量 $E_{\theta}$ 大一倍，说明在近场区域，径向分量占绝对优势。实际上的偶极子是有尺寸的，并非理想点源，因此其近场的场强分布并非完美，但足以说明场强分量的核心特性。
两组场强互补示意图
接下来研究能量传输，波印廷矢量为：
$$
\vec{E} \times \vec{H}^* = \begin{vmatrix}
\hat{a}r & \hat{a}{\theta} & \hat{a}{\phi} \
E_r & E{\theta} & E_{\phi} \
H_r^* & H_{\theta}^* & H_{\phi}^*
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\hat{a}r & \hat{a}{\theta} & \hat{a}{\phi} \
E_r & E{\theta} & 0 \
0 & 0 & H_{\phi}^*
\end{vmatrix} = E_{\theta} H_{\phi}^* \hat{a}r - E_r H{\phi}^* \hat{a}_{\theta}
$$
由于近场中的电场分量与磁场分量相差 $90^\circ$ 相位，从波印廷矢量的计算中可以发现，并没有能量流出，更多应该是储能。这也是为什么称之为凋落波的原因，某种程度上凋落波就是局域能量的存储，其并不满足传播的条件。
近场区（kr>1）
接下来讨论近场区的情况，其一般表达式为：
$$
E_r=\eta I_0 \frac{2k}{r^2} e^{-jkr} \cos(\theta) \
E_{\theta}=j\eta I_0 \frac{4}{r} e^{-jkr} \sin(\theta) \
H_{\phi}=j\frac{I_0}{4} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin(\theta)
$$
在波长和电流分布取有限值的情况下，上述表达式的结果有：
- $E_r$ 不可忽略，最大值取在 $\theta=0$ 处，即直角坐标系下的 $+z$ 轴方向。
- $E_{\theta}$ 不可忽略，最大值取在 $\theta=90^\circ$ 处，即直角坐标系下的 $xy$ 平面内。
- $H_{\phi}$ 不可忽略，最大值取在 $\theta=90^\circ$ 处，即直角坐标系下的 $xy$ 平面内。
虽然距离进一步拉远，但 $E_r$ 仍然存在，其随着距离的衰减速度从距离的三次方变为二次方，场强分布仍然保持与 $E_{\theta}$ 的互补性。从近场到远场的过程中，径向分量不断减小，而切向分量不断占据主导。
能量传输的波印廷矢量为：
$$
W_{av}=\frac{1}{2} \text{Re}[\vec{E} \times \vec{H}^]=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
\hat{a}r & \hat{a}{\theta} & \hat{a}{\phi} \
E_r & E{\theta} & E_{\phi} \
H_r^ & H_{\theta}^* & H_{\phi}^*
\end{vmatrix}=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
\hat{a}r & \hat{a}{\theta} & \hat{a}{\phi} \
E_r & E{\theta} & 0 \
0 & 0 & H_{\phi}^*
\end{vmatrix}=\frac{1}{2} [E_{\theta} H_{\phi}^* \hat{a}r - E_r H{\phi}^* \hat{a}_{\theta}]
$$
近场中的电场分量与磁场分量仍然存在 $90^\circ$ 相位差，但已经有可以传播的能量。
远场区（kr≫1）
最后讨论远场区的情况，其一般表达式为：
$$
E_{\theta}=j\eta I_0 \frac{4}{r} e^{-jkr} \sin(\theta) \
H_{\phi}=j\frac{I_0}{4} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin(\theta)
$$
从上式可以看出，在远场区只剩下 $E_{\theta}$ 和 $H_{\phi}$ 两个分量，这两个分量形成有效的能量流动，实现天线的能量辐射和传播。
能量传输的波印廷矢量为：
$$
W_{av}=\frac{1}{2} \text{Re}[\vec{E} \times \vec{H}^]=\frac{1}{2} \begin{vmatrix}
\hat{a}r & \hat{a}{\theta} & \hat{a}{\phi} \
0 & E{\theta} & 0 \
0 & 0 & H_{\phi}^
\end{vmatrix}=\frac{1}{2} E_{\theta} H_{\phi}^* \hat{a}_r=\frac{1}{2} \eta \left(\frac{I_0}{4}\right)^2 \frac{e^{-j2kr}}{r^2} (\sin\theta)^2 \hat{a}_r
$$
远场中电场和磁场的相位保持一致，而且只剩下可以传播的电磁能量分量。
总结
需要说明的是，本文中基于无穷短偶极子获得的表达式直接带入半波长阵子进行计算并不是非常准确，但是可以给出一个直观的认识，让我们充分认识近远场不同场区的场分量变化，以及储能的能量流动的变化。