不定积分的基本积分公式与性质

不定积分的基本积分公式与性质

不定积分的基本积分公式与性质

一、基本积分表

由于求不定积分与求导数是互逆的运算，因此，由导数的基本公式就可以得到相应的不定积分的基本公式。为了便于记忆和应用，我们把一些基本的积分公式列成一个表，通常称为基本积分表。

以上公式是求不定积分的基础，必须熟记。在应用这些公式时，有时需要对被积函数作适当的变形。

例7

例8

上述两个例题实际上是幂函数的积分问题，但是表示上是取用了根式和分式形式，遇到这样的情况一样先化成xμ的形式，再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分。

注

例9

例9表明，有些题目在形式上跟基本积分表没有关系，但是通过恒等变形以后，我们发现，实际是可以直接应用基本积分表的。

二、不定积分的性质

性质1

(1)∫f(x)dx′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx；

(2)∫f′(x)dx=f(x)＋C或∫df(x)=f(x)＋C。

性质1清楚地表明了不定积分运算与微分运算之间的互逆关系。对函数f(x)先求积分，再求导数，其结果等于f(x)，而对函数f(x)先求导数，再求积分，其结果不再是f(f(x)，而是f(x)＋C。

注

性质2

如果常数k≠0，那么∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。

性质2说明，不定积分中不为零的常数因子可以提到积分号外面来。

性质3

如果函数f1(x)及f2(x)的原函数存在，那么∫［f1(x)±f2(x)］dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx。

性质3说明∫［f1(x)±f2(x)］dx是f1(x)±f2(x)的原函数，由于它涉及两个积分记号，形式上含有两个积分常数，把这两个积分常数合并为一个，因此它实际上是f1(x)±f2(x)的不定积分，即与∫f1(x)dx±∫f2(x)dx相等。

性质3可以推广到有限个函数的情形，即有∫［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx。

直接根据不定积分的线性运算法则和基本积分公式或对被积函数稍加恒等变形后再利用法则和公式可以求出一些简单函数的不定积分。这种求不定积分的方法称为直接积分法。

例10

解对于两个有理多项式的商的积分，特别是分母是幂函数的情形，我们一般可以除下来，利用性质2，把分式函数看成是一些幂函数相加得到的新函数，再应用不定积分基本公式(2)求不定积分。

例11

解虽然被积函数是一个无理式，但是这里我们还是可以通过性质2及不定积分基本公式(2)求解该不定积分。

例12

三角函数的情形是比较复杂的，但是一般我们可以通过三角恒等变形，得到被积函

本文原文来自人人文档