平面电磁波的麦克斯韦方程组解法：电场和磁场的相位关系

平面电磁波的麦克斯韦方程组解法：电场和磁场的相位关系

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_53271604/article/details/142670891

本文讨论了平面电磁波的麦克斯韦方程组解法，特别是电场和磁场的相位关系。文章从无源条件出发，详细推导了波动方程的解，并讨论了复数形式的场矢量和积分常数的物理意义。

电磁场的基本方程

在讨论平面电磁波时，我们首先需要明确无源条件。这里的"无源"意味着在考虑的点(xyzt)处没有电流源和电荷源。具体来说，电流面密度(j)是电流除以单位面积，电荷体密度(\rho)是电荷除以单位体积。

麦克斯韦方程组在无源条件下的形式可以表示为：

• (\nabla \cdot \mathbf{D} = 0)
• (\nabla \cdot \mathbf{B} = 0)
• (\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t})
• (\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t})

在真空中，(\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E})且(\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H})，但在介质中，这些关系可能不同，因此在推导过程中将它们视为独立的未知数。

波动方程的推导

将麦克斯韦方程组中的旋度方程联立起来，可以得到波动方程。对于无源线性介质（即(\mu)和(\epsilon)是实数的情况），波动方程可以表示为：

波动方程的解

为了简化波动方程，我们假设电场(\mathbf{E})沿(x)方向，磁场(\mathbf{H})沿(y)方向。在这种情况下，波动方程的解可以表示为：

需要注意的是，这里的解是复数形式的，因为(\mathbf{E})和(\mathbf{H})本身就是复数形式的场矢量。通解中的常数项(C)也是复数，这反映了电磁波的相位特性。

相位的物理意义

在波动方程的解中，(\Phi_x)和(\Phi_y)表示(x)和(y)方向上的相位。这些相位是固定的，不随坐标变化。如果只求出了电场(\mathbf{E})，可以通过麦克斯韦方程组求解磁场(\mathbf{H})。

最终，波动方程求出的电场和磁场（在电场沿(x)方向的特殊情况）可以表示为：

其中，(\Phi)是一个常数，表示电场和磁场的相位差。这个结果表明，即使在特定方向上，电场和磁场的每个分量都有其独立的相位。