特征值究竟体现了矩阵的什么特征？

特征值究竟体现了矩阵的什么特征？

引用

CSDN

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https://blog.csdn.net/qq_36372352/article/details/140327222

特征值是线性代数中的核心概念之一，它揭示了矩阵变换的本质特征。本文将通过直观的解释和步骤分解，帮助读者理解特征值和特征向量如何描述矩阵对空间的影响，并简要介绍相似矩阵的概念及其与特征值的关系。

特征值的本质

特征值（eigenvalue）的概念最早由希尔伯特提出，其中的“eigen”在德语中意为“自己的”。因此，特征值也被称为本征值。从几何意义上讲，一个向量x经过矩阵A的映射后，如果与原来的自己保持平行，那么这个向量就是矩阵A的特征向量，而对应的伸缩比例就是特征值。

特征值和特征向量共同刻画了矩阵变换空间的特征。具体来说，对于平面上的任意向量，我们可以在特征向量构成的坐标系下进行分解。然后，分别在每个特征向量方向上进行伸缩（伸缩比例由特征值决定），最后再用平行四边形法则将这些向量组合起来。这样就可以轻松确定任何一个向量被映射后的位置。

通过以下三个步骤，我们可以完整地描述矩阵A作用于一个向量的映射过程：

1. 将向量分解为特征向量的线性组合
2. 根据特征值分别缩放每个特征向量（假设两个特征值分别为2和3，那么对应的系数将变为两倍和三倍）
3. 重新将这些特征向量组合起来，并使用线性映射P将变换后的系数向量转换回原始空间

为什么要进行这样的分解呢？主要有以下原因：

• 计算简便：通过特征值和特征向量，可以简化矩阵运算，特别是矩阵的幂运算。
• 特征值的求解：可以通过特征多项式来求解特征值。
• 迭代收敛性：在线性空间中，几乎所有向量经过某个线性映射的反复迭代后，都会趋近于特征值最大的方向。

相似矩阵的概念

相似矩阵是线性代数中的另一个重要概念。考虑一个矩阵P，它可以将默认视角转换到特征向量视角，反之亦然。当我们从不同视角观察同一个线性映射时，会得到不同的矩阵表示，这些矩阵被称为相似矩阵。

相似矩阵具有以下重要性质：

• 特征值的不变性：所有相似矩阵的特征值集合是相同的，尽管它们的特征向量可能不同。
• 迭代计算的简化：在特征向量视角下，矩阵的迭代累乘变得特别简单，这使得我们可以利用特征分解快速计算矩阵的幂次。

一些重要结论

1. 矩阵所有特征值的乘积等于矩阵的行列式。
2. 几何重数不会超过代数重数。

参考视频

对于希望进一步学习的读者，推荐观看以下视频：

Bilibili - 特征值与特征向量