中考数学复习三角形的垂心性质与应用

中考数学复习三角形的垂心性质与应用

在中考数学的复习中，三角形的垂心是一个重要的知识点，它不仅涉及到三角形的几何性质，还与三角函数、圆等相关知识紧密相连。本文将详细介绍三角形的垂心性质，并通过例题分析展示其在解题中的应用。

一、三角形的垂心定义与性质

1. 垂心的定义：在三角形ABC中，作顶点A、B、C的垂线，三条垂线的交点O称为三角形的垂心。

2. 垂心的性质：

• (1) 锐角三角形的垂心在三角形内；
• (2) 直角三角形的垂心在直角顶点上；
• (3) 钝角三角形的垂心在三角形外。

3. 垂心与内心的关系：三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。例如在△ABC中，O是垂心，则O是△ABC垂足三角形△ABCO的内心；同时，O也是△ABC旁心△ABO的垂心。

4. 垂心与外接圆的关系：垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

5. 四点共圆与直角三角形的关系：△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）的直角三角形。

6. 垂心组的定义：H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心，这样的四点为一组垂心组。

7. 外接圆的性质：△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

8. 垂心与三角形三边的关系：在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。

9. 垂心与外心、内切圆的关系：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10. 垂心与内切圆的关系：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11. 垂心与内接三角形的性质：锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。

二、西姆松定理与西姆松线

西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。这个定理在解决几何问题时非常有用，特别是在确定点与线之间的关系时。

三、垂心在解题中的应用

下面通过几个例题来展示垂心性质的应用：

例题1

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，延长AD交BC于E，求证：AE=2BD。

证明：在△ABC中，O为垂心，连接OD。由于D为BC的中点，所以OD⊥BC。

在△AOD和△COE中，
∠AOD=∠COE=90°，
∠AOE=∠BAC+∠ACO=60°，
∠DOA=∠EOC=∠BAC/2=60°，
因此，△AOD≌△COE（等角对等边），
所以AE=2OD。

在△ABC中，由于AB=AC，所以∠B=∠C。
因此，∠BAC/2=∠B=∠C，
即∠BAC=2∠B=2∠C。

在△BOD和△COD中，
∠BOD=∠COD=∠BAC/2=60°，
因此，△BOD≌△COD（等角对等边），
所以BD=OD。

AE=2OD=2BD，即证。

例题2

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，延长AD交BC于E，求证：AE⊥BC。

证明：在△ABC中，O为垂心，连接OD。由于D为BC的中点，所以OD⊥BC。

在△AOD和△COE中，
∠AOD=∠COE=90°，
∠AOE=∠BAC+∠ACO=60°，
∠DOA=∠EOC=∠BAC/2=60°，
因此，△AOD≌△COE（等角对等边），
所以AE=2OD。

在△BOD和△COD中，
∠BOD=∠COD=∠BAC/2=60°，
因此，△BOD≌△COD（等角对等边），
所以BD=OD。

由于AE=2OD，所以AE⊥BC，即证。

通过上述例题可以看出，掌握三角形的垂心性质可以帮助我们更有效地解决几何问题，尤其是在处理三角形的内接、外接圆以及与直角三角形相关的问题时。