从角速度向量的角度理解姿态角速度和机体角速度的转换公式
从角速度向量的角度理解姿态角速度和机体角速度的转换公式
在无人机控制领域，理解姿态角速度和机体角速度的转换关系是至关重要的。本文从角速度向量的角度出发，详细阐述了这两种角速度的概念及其转换公式，为读者提供了一个清晰的理论框架。
一、什么是姿态角速度
姿态角速度是描述无人机姿态变化速率的物理量。具体来说，它是无人机的偏航角、俯仰角和滚转角的一次导数，分别记为：
- 偏航角速度（yaw rate）
- 俯仰角速度（pitch rate）
- 滚转角速度（roll rate）
这些角速度反映了无人机在三维空间中的姿态变化速率。
二、什么是机体角速度
机体角速度描述的是无人机绕其自身坐标轴转动的角速度。下图展示了无人机的机体坐标系：
在这个坐标系中，机体角速度可以表示为绕三个轴的角速度向量：
- 绕x轴的角速度
- 绕y轴的角速度
- 绕z轴的角速度
三、角速度向量
在理论力学中，角速度向量的定义如下：一个向量绕着三维空间中的轴转动时，角速度向量的方向与该轴一致，且符合右手螺旋法则。角速度向量的模等于角速度的绝对值，如下图所示：
满足以下公式：
这里，乘号表示向量叉乘。
四、角速度向量的分解
角速度向量可以被分解为绕机体坐标系三个轴的旋转。假设存在一个角速度向量，它绕着与角速度向量重合的轴旋转。那么，这个旋转可以被分解为绕机体坐标系三个轴的旋转，且每个轴的转动角速度分别是合角速度在该轴上的投影向量。
证明如下：
设角速度向量满足：
则此时，向量顶点的线速度满足：
注意，这里中括号表示的是行列式，分别表示坐标系三轴单位向量。
如果角速度向量为，那么其对应的线速度满足：
同理，线速度和分别满足：
根据向量叉乘的分配律，我们得到：
绕着某一轴（不与向量重合）旋转向量，本质上是在不改变向量长度的情况下对向量顶点的位移运动。如果两种旋转方式对向量顶点的位移改变量是相同的，即两种旋转条件下向量顶点速度相同，那么，可以认为两种旋转运动等价。
五、建立两种角速度的联系
为了建立姿态角速度和机体角速度的联系，以偏航角为例进行阐述。偏航角是绕着下图中a坐标系z轴的旋转。通过旋转矩阵将该轴在机体坐标系中的向量求出来，然后将其分解到机体坐标系的三个轴上，就可以求出偏航角速度在机体坐标口中的角速度。
具体来说，偏航角的变化、俯仰角的变化、滚转角的变化分别是在k、n、b系中绕着一个坐标轴转动。通过旋转矩阵将这三个旋转轴全部转换到机体坐标系中，就可以求出机体坐标系中的角速度。
这一转换过程涉及复杂的数学推导，但其核心思想是将姿态角速度在机体坐标系中进行分解，从而建立两者之间的联系。这一转换关系在无人机姿态控制中具有重要应用价值。